高中数学 · 统计与概率

模块 06 · 统计与概率

你刷到的"985 平均年薪 40 万"是真的吗？天气预报"降水概率 70%"凭什么？疫苗保护率怎么算出来的？这些问题的根子都在统计与概率里——怎么抽样不骗人、怎么从数据里找规律、怎么衡量随机事件发生的可能性。这一站从抽样、直方图讲到回归、独立性检验，再从古典概型讲到正态分布，是高考大题的常客。

本模块思维导图：统计描述 + 概率模型两枝

左边统计：抽样→整理（直方图）→数字特征（均值方差）→回归与独立性检验；右边概率：古典/几何概型→条件概率→随机变量分布列→二项/正态分布。

统计：从抽样到数字特征（可参看：回归分析深化）（可参看「回归直线：最小二乘估计」深化）

Statistics · 数据不骗人的前提

① 三种随机抽样

方法	怎么做	适用
简单随机抽样	抽签法/随机数表法，每个个体等概率	总体少、均匀
分层抽样	按层分层，每层按比例抽	总体差异大（如分年级）
系统抽样	编号后按固定间隔 k 抽	总体多、有序

② 频率分布直方图与数字特征

▊直方图纵轴是"频率/组距"

纵轴 = 频率/组距，不是频率！每个小矩形面积 = (频率/组距)×组距 = 频率。所有矩形面积之和 = 1。

众数：最高矩形中点。中位数：左右两边面积各为 0.5 的那个值。平均数：每个矩形中点 × 面积求和。

方差与标准差平均数 x̄ = (x₁+x₂+…+xₙ)/n
方差 s² = [(x₁−x̄)²+…+(xₙ−x̄)²]/n （衡量波动大小）
标准差 s = √s² （与原数据同单位）

③ 回归直线与独立性检验

回归直线：ŷ = bx + a，必过样本中心点 (x̄, ȳ)。b 用最小二乘思想求出（让误差平方和最小）。知道一个值预测另一个，代入即可。

独立性检验 K²：判断两个分类变量是否有关。K² 越大越相关。与临界值比较：K² ≥ 6.635 有 99% 把握有关，K² ≥ 3.841 有 95% 把握。

概率：从古典概型到正态分布（可参看：古典概型深化、正态分布深化）（可参看「古典概型：等可能事件计数」深化）（可参看「条件概率：已知一部分后的概率」深化）（可参看「正态分布：钟形曲线的秘密」深化）

Probability · 随机也有规律

① 古典概型与几何概型

古典概型：有限个等可能基本事件。P(A) = A 包含的基本事件数 / 总基本事件数。例：掷骰子 P(偶数) = 3/6 = 1/2。

几何概型：结果无限、等可能。P(A) = 构成事件 A 的区域长度(面积/体积) / 全部结果的区域长度(面积/体积)。

② 条件概率与事件独立

条件概率 P(B|A) = P(AB) / P(A) （在 A 已发生条件下 B 发生的概率）
乘法公式：P(AB) = P(A)·P(B|A)
事件独立：P(AB) = P(A)·P(B)，即 A 发生不影响 B。

③ 离散型随机变量及其分布列

分布列：列出 X 所有可能取值 xᵢ 及对应概率 pᵢ。性质：pᵢ ≥ 0，Σpᵢ = 1。

期望 E(X)：加权平均 E(X) = Σ xᵢpᵢ。反映平均水平。方差 D(X)：反映波动，D(X) = E(X²) − [E(X)]²。

性质：E(aX+b) = aE(X)+b；D(aX+b) = a²D(X)。

两大常见分布 二项分布 B(n,p)：n 次独立重复试验，每次成功概率 p，成功次数 X。
E(X) = np，D(X) = np(1−p)。
正态分布 N(μ,σ²)：钟形曲线，μ 是均值（对称轴），σ 是标准差（胖瘦）。
3σ 原则：P(μ−σ<X≤μ+σ)≈0.683；P(μ−2σ<X≤μ+2σ)≈0.954；P(μ−3σ<X≤μ+3σ)≈0.997。
标准化：Z = (X−μ)/σ ~ N(0,1)。

例1（入门）：掷两枚均匀骰子，点数和为 7 的概率？

【审题】古典概型，数有利事件。

逐步解法：
① 总结果 6×6=36 种。
② 和为 7：(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) 共 6 种。
③ P = 6/36 = 1/6。
答案：1/6。

例2（进阶）：袋中有 3 红 2 白，不放回取两次，已知第一次取红，第二次也取红的概率？

【审题】条件概率。

逐步解法：
① 第一次取红后，袋中剩 2 红 2 白共 4 球。
② 第二次取红概率 = 2/4 = 1/2。
答案：P(第二次红|第一次红) = 1/2。

例3（高考）：X ~ B(10, 0.5)，求 E(X) 和 D(X)。

【审题】二项分布直接套公式。

逐步解法：
① E(X) = np = 10×0.5 = 5。
② D(X) = np(1−p) = 10×0.5×0.5 = 2.5。
答案：E(X)=5，D(X)=2.5。

例4（高考）：身高 X ~ N(170, 25)（cm），求 P(160 < X ≤ 180)。

【审题】μ=170, σ=5，160=μ−2σ，180=μ+2σ。

逐步解法：
① σ = √25 = 5。
② 160 = 170 − 10 = μ − 2σ；180 = 170 + 10 = μ + 2σ。
③ 由 3σ 原则，P(μ−2σ < X ≤ μ+2σ) ≈ 0.954。
答案：约 0.954。

易错诊断

① 直方图纵轴看错：纵轴是频率/组距，不是频率；面积才是频率。
② 条件概率分子分母搞反：P(B|A) 分母是 P(A)，不是 P(AB)。
③ 方差性质漏平方：D(aX+b)=a²D(X)，不是 aD(X)。
④ 正态 σ 与 σ² 混淆：N(μ,σ²) 第二个参数是方差，σ 要开方。

记

三句话卡片

① 直方图纵轴=频率/组距，面积和=1；方差越大越波动。

② 条件概率 P(B|A)=P(AB)/P(A)；独立则 P(AB)=P(A)P(B)。

③ 二项分布 E=np、D=np(1−p)；正态看 μ（中心）和 σ（胖瘦），3σ 原则。

综合自测（点击选项即时判断）

共 6 题。

1. 频率分布直方图的纵轴表示？

2. 一组数据 2, 4, 6 的平均数和方差分别是？

3. 掷一枚均匀硬币两次，两次都正面的概率是？

4. P(A)=0.6，P(B|A)=0.5，则 P(AB)=？

5. X ~ B(4, 0.5)，则 E(X) = ？

6. 正态分布 N(μ,σ²) 中，P(μ−3σ < X ≤ μ+3σ) 约为？

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统计：从抽样到数字特征 （可参看：回归分析深化）（可参看「回归直线：最小二乘估计」深化）