⑥ 高频错误诊断
错误1：P(A|B) 和 P(B|A) 写反
题目"已知是次品求来自甲厂"，分子该是 P(甲)P(次|甲)。竖线后是已知条件，分母永远是已知条件的概率。
错误2：把不放回当独立
不放回摸球，第二次概率受第一次影响，不能用 P(A)P(B)。放回才独立，不放回用条件概率。
错误3：全概率忘乘 P(Bᵢ)
只写 ΣP(A|Bᵢ)，漏掉每块的权重 P(Bᵢ)。每块都要乘它占的比例。
错误4：互斥和独立混为一谈
"不能同时发生"≠"互不影响"。两个都有可能发生的事件，互斥反而破坏独立。
错误5：P(B)=0 时乱套公式
条件概率定义要求 P(B)>0。若 B 几乎不可能发生，P(A|B) 无定义，别硬算。
⑩ 分层练习 18 题（基础6 + 中档6 + 拔高6）
基础1P(A)=0.6，P(B)=0.5，P(AB)=0.3，求 P(A|B)。
P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.3/0.5=0.6。
基础2掷骰子，已知点数为偶数，求点数大于 3 的概率。
偶数={2,4,6}，其中>3={4,6}，P=2/3=2/3。
基础3袋中 4 红 6 白，放回取 2 次，都红的概率？
独立：0.4×0.4=0.16。
基础4P(A)=0.5，P(B|A)=0.4，求 P(AB)。
P(AB)=P(A)P(B|A)=0.5×0.4=0.2。
基础5判断：若 P(AB)=P(A)P(B)，则 A、B 独立。
是，这就是独立的定义。
基础6两枚硬币独立抛，至少一个正面的概率？
1−P(都反)=1−1/4=3/4。
中档7袋中 5 红 3 白，不放回取 2 次，第二次才取到红球的概率？
第一次白且第二次红：(3/8)(5/7)=15/56。
中档8甲乙独立射击，甲中 0.7，乙中 0.8，恰有一人命中的概率？
甲中乙不中+甲不中乙中=0.7×0.2+0.3×0.8=0.14+0.24=0.38。
中档9一批产品甲厂 70%（次品率 0.02）、乙厂 30%（次品率 0.04），任取一件次品率？
全概率：0.7×0.02+0.3×0.04=0.014+0.012=0.026。
中档10上题中已知取到次品，它来自乙厂的概率？
P(乙|次)=0.3×0.04/0.026=0.012/0.026=6/13≈0.462。
中档113 人独立破译密码，成功概率分别 0.5,0.6,0.7，密码被破译的概率？
1−都失败=1−0.5×0.4×0.3=1−0.06=0.94。
中档12P(A)=0.4，P(B)=0.3，A、B 独立，求 P(A∪B)。
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A)P(B)=0.4+0.3−0.12=0.58。
拔高13甲袋 2 红 3 白，乙袋 3 红 1 白。任选一袋摸出一球是红，求是从甲袋摸出的概率？
P(红)=½·2/5+½·3/4=0.2+0.375=0.575。P(甲|红)=0.2/0.575=8/23≈0.348。
拔高14甲给乙写信后，乙回信概率 0.8；若乙未回信，甲再写一封。求甲写两封信后乙收到回信（至少一封）的概率（独立）。
对立：两封都没收到回信=0.2×0.2=0.04。P(至少一封)=1−0.04=0.96。
拔高15设 P(A)=1/3，P(B)=1/2，A⊂B，求 P(ĀB̄)。
A⊂B 则 AB=A，P(AB)=1/3。P(ĀB̄)=1−P(A∪B)=1−[P(A)+P(B)−P(AB)]=1−(1/3+1/2−1/3)=1−1/2=1/2。
拔高16袋中3红2白，不放回取2次，已知第1次红，求第2次也红。
条件概率：剩2红2白，P=2/4=1/2。
拔高17两厂产品：甲厂60%次品率1%，乙厂40%次品率2%，任取一件为次品，求是甲厂的概率。
贝叶斯：P(甲|次)=0.6×0.01/(0.6×0.01+0.4×0.02)=0.006/0.014=3/7。
拔高18P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(A∪B)=0.8，求 P(A|B)。
P(AB)=P(A)+P(B)−P(A∪B)=0.3。P(A|B)=0.3/0.5=0.6。