③ 先认识它
一句话：古典概型就是"所有可能结果一样多、一样可能"的概率模型。它能成立靠两条铁律：有限性（样本空间里基本事件总数 n 是有限的）和等可能性（每个基本事件发生的概率都相等）。两条缺一条，就不能用 P(A)=m/n。
为什么"等可能"是命门如果骰子被灌了铅（6 点偏重），6 个面就不是等可能的，m/n 直接失效。所以做古典概型第一步永远是：确认每个基本事件真的一样可能。
⑤ 用法场景与典型例题
| 场景 | 怎么建模 | 例题 |
|---|
| 摸球（不放回） | 从 N 个球取 k 个，用组合数 | 5红3白取2，全红概率 C(5,2)/C(8,2)=10/28 |
| 掷骰子/硬币 | 列举基本事件 | 两骰子点数和为7：(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) m=6 |
| 排队/座位 | 排列数 | 3男2女排成一排，男女相间：先定男女位置再排 |
| 约会问题 | 几何概型（面积） | 两人 1 小时内等可能到，等 20 分钟，能见到概率画边长60的正方形 |
典型例题：两骰子点数和同时掷两枚骰子，求点数和为 7 的概率。
解：总事件 n=6×6=36。和为 7 的组合有 (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) 共 6 个。P=6/36=1/6。注意：(1,6) 和 (6,1) 算两个不同基本事件，因为两枚骰子是可区分的。
几何概型例题：撒豆子在边长为 2 的正方形内随机投一点，求点到中心距离小于 1 的概率。
解：Ω 面积 = 4。有利区域是半径 1 的圆，面积 = π。P = π/4 ≈ 0.785。这里 n 是无穷的，靠面积比而不是数数。
⑥ 高频错误诊断
错误1：把"组合"和"排列"用反
摸球求概率时用了 A 而不是 C。只要"取出来"不排顺序，分子分母必须同时用组合（或同时用排列），保持一致即可。
错误2：基本事件列举不全
两骰子问题里漏掉 (1,6) 和 (6,1) 是两个事件。可区分的对象要按有序算，用列表法画 6×6 表格最稳。
错误3：几何概型找错测度
"在长为 10 的线段上取点，点到中点距离小于 2"——测度是长度（有利长度 4），不是面积。一维用长度、二维用面积。
错误4：忘了等可能性
往转盘上扎针，转盘刻度不等宽时，每格概率不等于 1/格数。不均匀区域要按面积加权。
错误5：互斥与独立混淆
古典概型里 P(A∪B)=P(A)+P(B) 只在 A、B 互斥（不能同时发生）时成立。一般情况要减 P(A∩B)。
⑩ 分层练习 18 题（基础6 + 中档6 + 拔高6）
基础1掷一枚均匀骰子，掷出点数大于 4 的概率是？
大于 4 的点 = {5,6}，m=2，n=6，P=2/6=1/3。
基础2从 1,2,3,4,5 中任取两个不同数，它们之和为偶数的概率？
和为偶 = 同奇或同偶。奇数{1,3,5}取2：C(3,2)=3；偶数{2,4}取2：C(2,2)=1；m=4。总 C(5,2)=10。P=4/10=2/5。
基础3袋中有 3 红 2 白，任取一球是红球的概率？
m=3，n=5，P=3/5。
基础4同时抛两枚硬币，两枚都正面朝上的概率？
n=4 {正正,正反,反正,反反}，m=1，P=1/4。
基础5从 5 名学生中任选 2 人当正副班长，有多少种选法？
要排序（正副不同），用排列 A(5,2)=5×4=20 种。
基础6几何：在区间 [0,10] 上任取一数 x，x<3 的概率？
测度为长度，P=3/10=3/10。
中档7袋中 4 红 3 白，任取 2 球恰好一红一白的概率？
m=C(4,1)·C(3,1)=12；n=C(7,2)=21；P=12/21=4/7。
中档83 男 2 女排成一排，两端都是男生的概率？
总排列 5!=120。两端男生：先选两端排男生 A(3,2)=6，中间 3 人全排 3!=6，m=36。P=36/120=3/10。
中档9甲、乙等 4 人随机排成一排，甲不在两端的概率？
总 4!=24。甲不在两端：甲在中间 2 个位置选 1，其余 3 人全排：2×6=12。P=12/24=1/2。
中档10在边长为 1 的正方形内随机投一点，该点到四边距离都大于 0.2 的概率？
有利区域是边长 1−0.4=0.6 的居中正方形，面积 0.36；P=0.36。
中档11从 1—9 中任取 2 个不同数，两数之积为偶数的概率？
对立事件"积为奇"=两数都奇。奇数 5 个，C(5,2)=10；总 C(9,2)=36。P(偶)=1−10/36=13/18。
中档12掷两枚骰子，点数之积为偶数的概率？
对立：积为奇=两骰子都奇。P(都奇)=3/6×3/6=1/4；P(偶)=1−1/4=3/4。
拔高13从 5 双不同鞋中任取 4 只，4 只中恰好配成一双的概率？
n=C(10,4)=210。m：选哪一双 C(5,1)=5；另两只从剩下 8 只选 2 只且不配成双：C(8,2)−4=28−4=24。m=5×24=120。P=120/210=4/7。
拔高14甲乙两艘船独立地在某一天 24 小时内等可能到达码头，码头只能停一艘，一艘停靠 6 小时，求它们需要等待的概率（即到时刻差≤6）。
画 24×24 正方形，|x−y|≤6 的面积 = 24²−2×½×18²=576−324=252；P=252/576=7/16。
拔高15袋中有 a 个红球 b 个白球，不放回取 2 个，求第 2 次取到红球的概率。
全概率思想：第 2 次红 = (第1次红且第2次红)+(第1次白且第2次红) = a/(a+b)·(a−1)/(a+b−1) + b/(a+b)·a/(a+b−1) = a/(a+b)。抽签公平性：每次取到红球概率都等于 a/(a+b)。
拔高16甲、乙约定 8:00–8:30 在车站见面，先到者等 15 分钟，求能见到的概率。
几何概型：边长30正方形，|x−y|≤15。面积=900−2×½×15²=675，P=675/900=3/4。
拔高17从 1–9 中任取 3 个不同数，和为偶数的概率。
和偶=三偶或一偶两奇。偶{2,4,6,8}4个，奇5个。C(4,3)+C(4,1)C(5,2)=4+40=44；总C(9,3)=84，P=44/84=11/21。
拔高18掷两枚骰子，点数之积为偶数的概率。
对立：积为奇=两奇，3×3=9。P(奇)=9/36=1/4，P(偶)=3/4。