导航软件怎么算你到目的地的距离？怎么判断那条路和你走的路交不交叉？答案全在初中就见过的坐标系里——把几何问题翻译成方程。直线是一次方程，圆是二次方程，点到直线有距离公式。这一站是解析几何的入门：学会"看图写方程、用方程判位置"，后面圆锥曲线就是它的升级版。
直线：倾斜角、斜率与五种方程 （可参看：直线方程深化）（可参看「直线方程：五种形式怎么选」深化）
① 倾斜角与斜率
/斜率就是"坡度"
倾斜角 α：直线向上方向与 x 轴正方向所成的角，范围 0° ≤ α < 180°。
斜率 k：k = tanα。过两点 (x₁,y₁)、(x₂,y₂) 的直线斜率 k = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)（x₁≠x₂）。垂直于 x 轴的直线斜率不存在（倾斜角 90°）。
② 五种直线方程形式
| 形式 | 方程 | 适用场景 |
|---|---|---|
| 点斜式 | y − y₀ = k(x − x₀) | 已知一点和斜率 |
| 斜截式 | y = kx + b | 已知斜率和 y 轴截距 b |
| 两点式 | (y−y₁)/(y₂−y₁) = (x−x₁)/(x₂−x₁) | 已知两点 |
| 截距式 | x/a + y/b = 1 | 已知两轴截距 a,b |
| 一般式 | Ax + By + C = 0 | 通用，算距离用 |
思两直线平行与垂直的判定
平行：斜率相等 k₁ = k₂（且截距不等）。一般式中 A₁B₂ = A₂B₁。
垂直：斜率乘积 k₁·k₂ = −1。一般式中 A₁A₂ + B₁B₂ = 0。
③ 三个距离公式
圆：从方程读圆心和半径 （可参看：圆的方程深化）（可参看「圆的标准方程与一般方程」深化）
① 标准方程与一般方程
○标准方程直接读，一般方程要配方
标准方程：(x − a)² + (y − b)² = r²。圆心 (a, b)，半径 r。一眼读出。
一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0。配方得圆心 (−D/2, −E/2)，半径 r = ½√(D²+E²−4F)。右边必须 > 0 才是圆，等于 0 是点圆，小于 0 不表示任何图形。
② 三种位置关系：用 d 和 r 比大小
| 关系 | 判断（d = 距离） | 画面 |
|---|---|---|
| 点在圆外 | d > r | 点在圈外 |
| 点在圆上 | d = r | 点在圈上 |
| 点在圆内 | d < r | 点在圈里 |
| 线圆相离 | d > r | 不相交 |
| 线圆相切 | d = r | 一个交点（切线） |
| 线圆相交 | d < r | 两个交点，有弦 |
| 圆圆外离/外切/相交/内切/内含 | d 与 R+r、|R−r| 比 | 两圈重叠程度 |
① A=3, B=4, C=−5，x₀=2, y₀=3。
② d = |3·2 + 4·3 − 5| / √(9+16) = |6+12−5|/5 = 13/5 = 2.6。
答案：距离为 13/5。
① 圆心 (1,2)，r = 2。
② d = |3·1+4·2−5|/√(9+16) = |3+8−5|/5 = 6/5 = 1.2。
③ d = 1.2 < r = 2，相交。
④ 弦长 = 2√(r²−d²) = 2√(4 − 1.44) = 2√2.56 = 2×1.6 = 3.2。
答案：相交，弦长 3.2（即 16/5）。
① 设过原点直线 y = kx，即 kx − y = 0。
② 圆心 (2,1)，r=1。相切则 d = |2k−1|/√(k²+1) = 1。
③ 平方：(2k−1)² = k²+1 → 4k²−4k+1 = k²+1 → 3k²−4k = 0 → k=0 或 k=4/3。
④ 另查斜率不存在的直线 x=0：d=|0−2|/1=2≠1，不是切线。
答案：y = 0 或 y = (4/3)x。
① 斜率不存在漏解：设点斜式前先考虑竖直直线 x = x₀ 行不行。
② 一般方程配方符号：圆心是 (−D/2, −E/2)，负号别丢。
③ 距离公式分子带绝对值：距离非负，必须加 | |。
④ 弦长忘乘 2：勾股算出的是半弦长，最后乘 2。
① 直线五式按需选用，平行看 k 相等、垂直看 k₁k₂=−1。
② 点到直线距离 d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)，位置关系全靠 d 与 r 比大小。
③ 弦长 = 2√(r²−d²)，切线 = d=r。
综合自测（点击选项即时判断）
共 6 题。
1. 过点 (1,2) 且斜率为 3 的直线方程是？
2. 直线 y = 2x + 1 与 y = kx − 3 垂直，则 k = ？
3. 圆 (x−1)²+(y+2)²=9 的圆心和半径是？
4. 点 (0,0) 到直线 3x + 4y − 10 = 0 的距离是？
5. 圆心到直线距离 d = 3，圆半径 r = 5，弦长为？
6. 直线与圆相切时，圆心到直线距离 d 与半径 r 满足？