银行存钱：年利率 3%，利滚利，钱怎么涨？答案是指数爆炸——开始慢，后来飞快。反过来，地震震级每差一级能量差 32 倍，声音分贝每加 10 响度翻倍——这是对数，把天量级的东西压缩成一把尺。指数和对数是同一枚硬币的两面，幂函数则是中间派。这一站把三大函数的图像、性质、运算公式一次收拢。
指数：从整数幂到分数指数幂 （可参看：指数运算深化）（可参看「指数运算：幂的规则全家桶」深化）
① n 次方根与分数指数幂
√把根号写成幂，才能运算
n 次方根：若 xⁿ = a，则 x 叫 a 的 n 次方根。n 为奇数时唯一（³√−8 = −2）；n 为偶数时正数有两个（±），负数没有偶次方根。
分数指数幂：a^(m/n) ⁿ√(aᵐ)（a>0）。负指数 a⁻ⁿ = 1/aⁿ。把根号统统写成幂次，才能用指数律化简。
② 指数函数 y = aˣ 的图像与性质
| 性质 | a > 1 | 0 < a < 1 |
|---|---|---|
| 定义域 | ℝ | ℝ |
| 值域 | (0, +∞) | (0, +∞) |
| 过定点 | (0, 1)，因为 a⁰=1 | |
| 单调性 | 单调递增 | 单调递减 |
| 图像走向 | 左下趋近 x 轴，右上飙升 | 左上高，右下趋近 x 轴 |
| 函数值 | x>0 时 y>1；x<0 时 0<y<1 | x>0 时 0<y<1；x<0 时 y>1 |
思比大小心法：同底看单调，不同底找中间量
同底数：直接用单调性。a>1 时指数大的值大。
不同底：找中间量 1 或 0。比 1 大的放一组，比 1 小的放一组，立刻分出大小。
对数：把指数"倒过来"算 （可参看：对数运算深化）（可参看「指数运算：幂的规则全家桶」深化）（可参看「对数运算：换底公式与恒等式」深化）
① 对数定义与运算性质
loglogₐN = x 等价于 aˣ = N
定义：若 aˣ = N（a>0, a≠1），则 x = logₐN。真数 N 必须 > 0（对数只对正数有定义）。
两个常用对数：lg N = log₁₀N（常用对数），ln N = logₑN（自然对数）。
① logₐ(M+N) ≠ logₐM + logₐN！对数只对"积商幂"变形，对和差无能为力。
② 真数必须 > 0：解 log 方程后必须检验真数是否为正，增根要舍。
③ logₐa = 1，logₐ1 = 0：过定点 (1,0) 和 (a,1)。
② 对数函数 y = logₐx 与反函数
图像：y = logₐx 是 y = aˣ 关于直线 y = x 翻折过来的。定义域 (0,+∞)，值域 ℝ，过定点 (1,0)。
反函数关系：指数函数与对数函数互为反函数。它们的图像关于 y=x 对称，定义域值域互换。求反函数：解出 x 用 y 表示，再 x、y 互换。
③ 幂函数 y = xᵅ：五种典型图像
| α | 函数 | 图像特征 | 奇偶/象限 |
|---|---|---|---|
| 1 | y = x | 过原点直线，一三象限角平分线 | 奇 |
| 2 | y = x² | 开口向上抛物线，关于 y 轴对称 | 偶 |
| 3 | y = x³ | 过原点，在 ℝ 上递增 | 奇 |
| ½ | y = √x | 只在第一象限，递增但越来越缓 | 非奇非偶 |
| −1 | y = 1/x | 双曲线，一三象限，两轴渐近 | 奇 |
幂函数共性：所有 y=xᵅ 都过定点 (1,1)。在 (0,+∞) 上，α>0 时递增且过原点，α<0 时递减且以坐标轴为渐近线。
① log₂8：2 的几次方是 8？2³=8，所以 = 3。
② lg100 = log₁₀100 = 2。
③ ln1 = logₑ1 = 0。
答案：3 + 2 + 0 = 5。
① 2^0.3：底数 2>1，指数 0.3>0，所以 2^0.3 > 2⁰ = 1。
② 0.3² = 0.09，介于 0 和 1 之间。
③ log₂0.3：真数 0.3<1，底数 2>1，对数为负，即 log₂0.3 < 0。
答案：log₂0.3 < 0.3² < 2^0.3。
① 定义域：x−1>0 且 x+1>0 → x>1。
② 左边合并：log₂[(x−1)(x+1)] = log₂(x²−1) = 3。
③ 化指数：x²−1 = 2³ = 8 → x² = 9 → x = ±3。
④ 检验：x>1，舍 x=−3；x=3 时真数 2 和 4 都正。
答案：x = 3。
① 指数函数过 (0,1)，对数函数过 (1,0)，两者关于 y=x 对称（互为反函数）。
② 对数只对积商幂变形：积变和、商变差、幂提前；真数必须 >0。
③ 比大小找中间量 0 和 1：指数比 1，对数看正负。
综合自测（点击选项即时判断）
共 6 题。
1. log₃81 = ？
2. 函数 y = logₐx 的图像恒过哪个定点？
3. 下列大小关系正确的是？
4. logₐ(MN) 等于？
5. 幂函数 y = xᵅ 的图像恒过定点？
6. 方程 log₂(x−1) = 1 的解是？