点与圆
→
③ 先认识它：圆心和半径是圆的全部
圆的定义：到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。标准式 (x−a)²+(y−b)²=r² 一眼读出圆心 (a,b)、半径 r。
一般式配方x²+y²+Dx+Ey+F=0 配方得 (x+D/2)²+(y+E/2)²=(D²+E²)/4−F。圆心 (−D/2,−E/2)，半径 r=√((D²+E²)/4−F)。右边必须 >0 才是圆。
⑤ 用法场景与典型例题
例：判断直线 3x+4y−5=0 与圆 x²+y²=4 的位置关系。圆心 (0,0)，r=2。d=|−5|/5=1<2，相交。弦长=2√(4−1)=2√3。
d<r 即相交，再用弦长公式。
例：求过圆 x²+y²=4 上点 (1,√3) 的切线。切线：1·x+√3·y=4，即 x+√3y−4=0。
易错再提醒① 一般式 x²+y²+Dx+Ey+F=0 表示圆的前提是 D²+E²−4F>0；② 求切线时，过圆外一点有两条切线，别漏；③ 两圆公共弦方程=两圆方程相减。这些小结论在选择填空中高频出现。
典型真题精练
题：圆 C 过 (0,0)、(4,0)、(0,2)，求方程。
解：设一般式 x²+y²+Dx+Ey+F=0。代 (0,0) 得 F=0；代 (4,0) 得 D=−4；代 (0,2) 得 E=−2。配方 (x−2)²+(y−1)²=5。
⑥ 高频错误诊断
错误 1一般式配方符号错
✗ → ✓ 圆心写成 (D/2,E/2)
圆心是 (−D/2,−E/2)。
错误 2把 d 与 r 比反
✗ → ✓ d>r 说成相交
d
错误 3弦长公式漏 2
✗ → ✓ 弦长=√(r²−d²)
弦长=2√(r²−d²)。
错误 4一般式右边≤0还当圆
✗ → ✓ r²≤0 不是圆
r²>0 才是圆方程，否则点圆/无轨迹。
⑦ 考点与真题演练（紫 tag）
| 题型 | 怎么考 | 应对 |
|---|
| 求方程 | 给圆心半径/三点 | 标准式或待定系数 |
| 位置关系 | 直线与圆 | d 与 r 比大小 |
| 弦长/切线 | 交点弦、切线方程 | 弦长 2√(r²−d²) |
真题风格演练
真题风格自测（点击选项即时判断）
1. 圆 (x−1)²+(y+2)²=9 的圆心和半径是？
2. 圆心到直线距离 d=2，圆半径 r=5，直线与圆？
3. 圆 x²+y²=4 截直线 x=1 所得弦长是？
考场提醒直线与圆问题优先用”几何法”：算 d 与 r 比较，再算弦长 2√(r²−d²)，比联立方程快得多。
⑧ 必背公式卡
方法总结：圆问题两板斧求圆方程：标准式待定系数（已知心半径）或一般式（已知三点）。判断位置：点圆用代入、线圆用 d 与 r、圆圆用 d 与 R±r。凡涉及弦，立刻想垂径定理半弦²+弦心距²=r²。
标准式：(x−a)²+(y−b)²=r²。
一般式圆心：(−D/2,−E/2)，r=√((D²+E²)/4−F)。
线圆关系：dr 相离。
弦长：2√(r²−d²)。
点圆关系：dr 在外。
⑨ 应用输出（建模 / 口述解题）
建模：一座圆形喷泉半径 5m，喷口在圆心，一条直道距喷泉中心 3m，问直道会不会穿过水池？
d=3<r=5，直道穿过水池，占用水面弦长 2√(25−9)=8m。
口述：为什么判断直线与圆用 d 和 r 比，而不像圆锥曲线那样联立判别式？因为圆有几何意义，几何法更快更准。
延伸：弦的中点与垂径定理圆心与弦中点连线垂直于弦。已知弦中点求弦长、已知弦长求中点，都用垂径定理：半弦² + 弦心距² = 半径²。这比联立方程快。切线问题则用「圆心到切线距离=半径」，或切点与圆心连线垂直切线。
⑩ 分层练习 18 题（基础 6 + 中档 6 + 拔高 6）
基础1圆 (x−2)²+(y−1)²=16 的半径？
r=4。
基础2圆心 (0,0)、半径 3 的标准方程？
x²+y²=9。
基础3点在圆上时 d 与 r 关系？
d=r。
基础5弦长公式 2√(r²−d²) 中 d 是？
圆心到直线距离。
基础6两圆外切时 d 与 R,r？
d=R+r。
中档7x²+y²−2x+4y−4=0 的圆心？
配方 (x−1)²+(y+2)²=9，圆心 (1,−2)。
中档9圆心 (0,0) r=2，直线 x=1，位置？
d=1<2，相交。
中档10圆 x²+y²=9 截 x=0 弦长？
d=0，弦长=直径=6。
中档11两圆半径 3、5，圆心距 9，位置？
9>8，外离。
中档12过圆 x²+y²=1 上点 (1,0) 切线？
x=1。
拔高13直线 y=x+b 与圆 x²+y²=2 相切，求 b。
d=|b|/√2=r=√2 → b=±2。
拔高14圆过原点、圆心 (3,4)，方程？
r=5，(x−3)²+(y−4)²=25。
拔高15两圆 x²+y²=1 与 (x−3)²+y²=4 位置？
d=3=1+2，外切。
拔高16为什么一般式要求 D²+E²−4F>0？
否则 r²≤0 不是真圆。
拔高17求过 (0,0)、(1,1)、(2,0) 的圆方程。
设一般式代入三点解 D,E,F。
拔高18直线与圆相交弦长为 0 意味着什么？
d=r，直线与圆相切。
⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划
口诀标准式读心读半径，一般式配方才安心；线圆看 d 比 r 小交大离等于切，弦长两倍根号里。
7 天复习计划
| 天 | 任务 | 自检 |
|---|
| 第 1 天 | 读全页 + 背公式卡 | 能默写核心公式 |
| 第 2 天 | 做基础 1–6 | 全对即可 |
| 第 3 天 | 做中档 7–12 + 错题回看 | 错题重做全对 |
| 第 4 天 | 做拔高 13–18 | 能口述解题步骤 |
| 第 5 天 | 重做错题 + 真题自测 3 题 | 选择题全对 |
| 第 6 天 | 合上书默画思维导图 | 11 块不遗漏 |
| 第 7 天 | 给同学讲一遍本知识 | 讲清楚 = 真会 |