出租车计费：3 公里内 14 元，超过 3 公里每公里 2.4 元——你坐的公里数 x，对应一个车费 y。这种"一个输入对应一个输出"的规则，就是函数。但高中要问的远不止"算多少钱"：它什么时候涨得快？关于原点对称吗？每隔多久重复一次？这一站把函数的三要素、四性质、三变换一次讲透，后面所有具体函数（指数、对数、三角）都是在给这个骨架填肉。
函数三要素：定义域、值域、对应法则 （可参看：定义域与值域深化）（可参看「定义域与值域：先圈地盘再谈其他」深化）
【定义】设 A、B 是非空数集，如果按某种确定的对应关系 f，使对 A 中任意一个 x，在 B 中都有唯一确定的 y 和它对应，就称 f: A → B 是集合 A 到 B 的一个函数。记作 y = f(x)，x ∈ A。
① 定义域：x 能取什么值
域四种"不让取"的雷区
求定义域就是列不等式把"雷区"排除。高中常见四种：
1. 分母 ≠ 0：y = 1/(x−2) 要求 x − 2 ≠ 0，即 x ≠ 2。
2. 偶次根号下 ≥ 0：y = √(x+3) 要求 x + 3 ≥ 0，即 x ≥ −3。奇次根号（³√）没限制。
3. 对数真数 > 0：y = log₂(x−1) 要求 x − 1 > 0，即 x > 1。底数 a > 0 且 a ≠ 1。
4. 零次幂底数 ≠ 0：y = (x−1)⁰ 要求 x − 1 ≠ 0。多个限制同时出现时取交集。
① 根号：x + 2 ≥ 0 → x ≥ −2
② 分母：x − 1 ≠ 0 → x ≠ 1
③ 取交集：x ≥ −2 且 x ≠ 1
答案：定义域为 [−2, 1) ∪ (1, +∞)。
② 解析式求法：换元、待定系数、方程组
思三种求解析式的套路
换元法：已知 f(g(x)) 的表达式求 f(x)。令 t = g(x)，反解 x 代回，最后注意 t 的范围。
待定系数法：已知函数类型，设出带系数的式子，代入已知点列方程解系数。
方程组法：已知 f(x) 与 f(1/x) 或 f(−x) 的关系式，把 x 换成 1/x 得第二个方程，联立解 f(x)。
① 令 t = 2x + 1，则 x = (t−1)/2。
② 代入：f(t) = ((t−1)/2)² − (t−1)/2 = (t² − 4t + 3)/4。
答案：f(x) = ¼x² − x + ¾。
四大性质：单调、奇偶、对称、周期 （可参看：单调性深化、奇偶性深化）（可参看「单调性：函数值随 x 变大的节奏」深化）（可参看「奇偶性：关于原点与 y 轴的对称」深化）
① 单调性：函数在涨还是在跌
↗定义法证明单调性的三步
定义：区间 D 内任取 x₁ < x₂，若 f(x₁) < f(x₂) 则单调递增；若 f(x₁) > f(x₂) 则单调递减。
证明三步：取值（设 x₁ < x₂）→ 作差（f(x₁) − f(x₂)）→ 变形定号（因式分解/通分，判断差正负）。
② 奇偶性：关于原点还是 y 轴对称
±先看定义域，再算 f(−x)
前提：定义域必须关于原点对称。不对称直接非奇非偶。
偶函数：f(−x) = f(x)，图像关于 y 轴对称。例：x²、cos x、|x|。
奇函数：f(−x) = −f(x)，图像关于原点对称。若 0 在定义域内，则 f(0) = 0。例：x³、sin x。
③ 对称性与周期性
④ 图像变换：平移、伸缩、翻折
| 变换 | 从 y = f(x) 变成 | 图像怎么动 |
|---|---|---|
| 左右平移 | y = f(x + a) | a>0 左移；a<0 右移（左加右减） |
| 上下平移 | y = f(x) + b | b>0 上移（上加下减） |
| 横向伸缩 | y = f(ωx) | x 方向变 1/ω 倍 |
| 纵向伸缩 | y = A·f(x) | y 方向变 A 倍 |
| 关于 x 轴翻折 | y = −f(x) | 上下翻转 |
| 关于 y 轴翻折 | y = f(−x) | 左右翻转 |
| 保右翻左 | y = f(|x|) | 右半沿 y 轴对称复制 |
| 下翻上 | y = |f(x)| | x 轴下方翻到上方 |
⑤ 分段函数与抽象函数
分段函数：不同区间不同式子，本质是一个函数。求值先看自变量落在哪段。
抽象函数：只给关系不给式（如 f(x+y)=f(x)+f(y)）。解法是赋值法：代 0、1、−1、相反数，逼出 f(0)、奇偶性、周期。
① 设 x < 0，则 −x > 0。
② f(−x) = (−x)² + (−x) = x² − x。
③ 奇函数 f(−x) = −f(x)，得 f(x) = −x² + x。
答案：x < 0 时 f(x) = −x² + x。
① 令 x=y=1：f(2)=2+2=4。
② 令 x=2,y=1：f(3)=f(2)+f(1)=6。
答案：f(3) = 6。
① 周期 2：f(7.5)=f(7.5−8)=f(−0.5)。
② 偶：f(−0.5)=f(0.5)。
③ 0.5∈[0,1]，f(0.5)=0.5。
答案：f(7.5)=0.5。
①求定义域漏条件：有根号又有对数，两个限制都列，取交集。
②判断奇偶不看定义域对称：不对称直接非奇非偶。
③奇函数忘 f(0)=0：0 在定义域内必有 f(0)=0。
④平移方向搞反：左加右减，x 加正数往左移。
⑤复合函数单调忘定义域。
① 三要素先抓定义域：分母≠0、根号≥0、对数真数>0、零次幂底数≠0，取交集。
② 四性质：单调看差正负、奇偶先看定义域对称、对称看 f(a±x)、周期看 f(x+T)=f(x)。
③ 图像变换：左加右减、上加下减；|x| 保右翻左，|f(x)| 下翻上。
综合自测（点击选项即时判断）
共 6 题。
1. f(x) = √(x−1) + 1/(2−x) 的定义域是？
2. 下列是奇函数的是？
3. y = f(x) 向右平移 2 个单位得？
4. f(x+3)=f(x) 且 f(1)=5，则 f(13)=？
5. f(x−1) = 2x + 3，则 f(x) = ？
6. f(x) 是偶函数，x≥0 时 f(x)=x²，x<0 时 f(x)=？