⑤ 用法场景与典型例题
例1（定义证明）证明 f(x)=2x+1 在 ℝ 上单调递增。
① 任取 x₁<x₂；② f(x₁)−f(x₂)=(2x₁+1)−(2x₂+1)=2(x₁−x₂)；③ ∵x₁<x₂，∴x₁−x₂<0，差<0；④ 即 f(x₁)<f(x₂)。得证递增。
例2（复合函数）求 y=log₀.₅(x²−2x−3) 的单调递增区间。
① 定义域：x²−2x−3>0 → x<−1 或 x>3。
② 外层 u=log₀.₅(u) 是减函数（底<1）。
③ 同增异减：要复合递增，需内层 u=x²−2x−3 递减。
④ 内层对称轴 x=1，递减区间 (−∞,1)，与定义域取交 → (−∞,−1)。
例3（用单调性解不等式）f(x) 是 ℝ 上增函数，f(2a−1)<f(a)，求 a 范围。
f 递增，脱去 f 保持不等号方向：2a−1<a → a<1。
答案：a∈(−∞,1)。
例4（比较大小）比较 a=log₀.₅3，b=log₀.₅π 的大小。
底数 0.5<1，log₀.₅ 在 (0,+∞) 上递减。∵3<π，∴log₀.₅3 > log₀.₅π（减函数，自变量小反而函数值大）。a>b。
⑥ 中国学生高频错误诊断（4 条）
错误 1：说"f(x) 单调"不带区间单调性是区间性质，必须说"在某区间上"。如 y=x² 在 ℝ 上不单调，但在 (0,+∞) 上递增。
错误 2：复合函数忘了先求定义域求 y=log₀.₅(x²−2x−3) 单调区间，直接拿对称轴说事，忘了真数>0。定义域是前提。
错误 3：脱 f 时不等号方向搞反f 递减时，f(a)>f(b) 脱去后是 a<b，不是 a>b。增保持、减翻转。
错误 4：作差后不变形就定号f(x₁)−f(x₂) 不因式分解、不通分，直接说"显然小于 0"——解答题必须把差化到能判断符号的乘积形式。
⑦ 考点与真题演练（3 题）
| 考法 | 形式 | 应对 |
|---|
| 定义证明 | 解答题 | 五步流程写全 |
| 复合单调区间 | 选择/填空 | 定义域+同增异减 |
| 脱 f 解不等式 | 小题 | 增保号、减翻号 |
基础1. 函数 f(x)=−2x+3 在 ℝ 上的单调性是？
中档2. y=(x²−4) 的单调递增区间是？
拔高3. f(x) 是定义在 ℝ 上的减函数，f(m−1)>f(1−2m)，则 m 的范围是？
第 3 题解析f 递减，f(m−1)>f(1−2m) 脱去 f 要翻号：m−1<1−2m → 3m<2 → m<2/3。注意递减时不等号反向！
⑩ 分层练习 18 题（基础 6 + 中档 6 + 拔高 6）
▍基础 6 题
基础1f(x)=3x−2 在 ℝ 上单调？
斜率 3>0，递增。
基础2f(x)=1/x 在 (0,+∞) 上单调？
k=1>0，在每个象限内递减。
基础3y=x² 的递减区间是？
对称轴 x=0 左侧，(−∞,0]。
基础4f(x) 递增，比较 f(1) 与 f(3)。
1<3，递增故 f(1)<f(3)。
基础5f(x) 递减，比较 f(2) 与 f(5)。
2<5，递减故 f(2)>f(5)。
基础6y=2ˣ 在 ℝ 上单调？
底 2>1，递增。
▍中档 6 题
中档7证明 f(x)=x+1/x 在 (1,+∞) 上递增。
取 1<x₁<x₂，作差 f(x₁)−f(x₂)=(x₁−x₂)+(1/x₁−1/x₂)=(x₁−x₂)(1−1/(x₁x₂))。x₁x₂>1 → 1−1/(x₁x₂)>0，又 x₁−x₂<0，差<0，递增。
中档8求 y=−x²+4x 的递增区间。
=−(x−2)²+4，开口向下，对称轴左侧增。(−∞,2]。
中档9y=log₂(x−1) 的递增区间？
定义域 x>1，外层增、内层 x−1 增，复合增。(1,+∞)。
中档10f(x) 增，f(2a)<f(a+1)，求 a。
脱 f 保号：2a<a+1 → a<1。
中档11比较 0.2
0.3 与 0.2
0.5。
底 0.2<1 指数函数递减，0.3<0.5，故 0.20.3>0.20.5。
中档12y=(1/2)
x²−2x 的递减区间？
外层 (1/2)u 减，要复合递减需内层增。内层 x²−2x=(x−1)²−1 增区间 (1,+∞)。(1,+∞)。
▍拔高 6 题
拔高13f(x)=x²−2ax+1 在 [2,+∞) 上递增，求 a。
对称轴 x=a，要 [2,+∞) 在对称轴右侧，需 a≤2。
拔高14y=log₀.₃(x²−3x+2) 的递减区间。
定义域 x<1 或 x>2；外层减，要复合递减需内层增。内层增区间 (3/2,+∞)，与定义域交 (2,+∞)。
拔高15f(x) 增且 f(1−a)<f(2a−1)，求 a。
1−a<2a−1 → 2<3a → a>2/3。
拔高16f(x) 对任意 x 满足 f(−x)=−f(x) 且在 (0,+∞) 增，比较 f(−2) 与 f(−3)。
奇函数在对称区间同单调性，故 (−∞,0) 也增。−2>−3，故 f(−2)>f(−3)。
拔高17f(x)=(a−1)x 在 ℝ 上递减，求 a。
斜率 a−1<0 → a<1。
拔高18f(x)=x+√(x−1) 在定义域上单调性？
x 增、√(x−1) 也增，两增相加仍增。在 [1,+∞) 上单调递增。