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知识点深化 · 函数奇偶性

函数奇偶性：关于 y 轴对称，还是关于原点对称

偶函数像一张对折的纸——左右两边沿 y 轴折起来完全重合（f(−x)=f(x)）；奇函数像绕原点转 180°——转完跟原来一模一样（f(−x)=−f(x)）。奇偶性能把"算一半"变成"算一半顶全部"，是函数大题里的省力利器。这一页讲清定义、判断步骤、奇偶与单调的联动，以及最容易踩的"定义域不对称"坑。

① 小白第一课怎么学（4 步走，约 45 分钟）

1看懂两种对称（10 分钟）
第③部分：偶函数左右折、奇函数转 180°。
2背判断两步（10 分钟）
先看定义域是否关于原点对称，再算 f(−x)。
3学联动结论（15 分钟）
第⑤部分：奇在对称区间同单调，偶在对称区间反单调。
4刷题（10 分钟）
第⑦⑩部分，每题先查定义域。
本课小目标学完你要能：① 判断一个函数是奇、偶还是非奇非偶；② 利用奇偶性由一半图像画另一半；③ 记住奇函数若在 0 有定义则 f(0)=0。

② 一图看懂：两种对称

偶函数：关于 y 轴对称 f(−x)=f(x)，左右对折重合 奇函数：关于原点对称 f(−x)=−f(x)，转 180° 重合
前提铁律：定义域必须关于原点对称，才谈得上奇偶。定义域不对称，直接判"非奇非偶"。

③ 先认识它：两个定义式

偶函数：定义域关于原点对称，且对任意 x 都有 f(−x)=f(x)。图像关于 y 轴对称。如 f(x)=x²、f(x)=|x|。

奇函数：定义域关于原点对称，且对任意 x 都有 f(−x)=−f(x)。图像关于原点对称。如 f(x)=x³、f(x)=1/x。

关键推论：若奇函数在 x=0 处有定义，则 f(0)=0（因为 f(−0)=−f(0)，即 f(0)=−f(0)）。

判断两步走 第一步：定义域关于原点对称？ 第二步：算 f(−x)，比 f(x) 或 −f(x) 不对称 → 直接非奇非偶
为什么定义域必须对称奇偶性要求"对任意 x，−x 也在定义域里"。如果定义域是 [0,3]，那 x=2 有定义但 −2 没定义，f(−2) 都不存在，谈何 f(−x)=f(x)？所以第一步永远查定义域。

④ 完整体系：常见奇偶函数与性质

常见结论（直接记）

函数奇偶性备注
常数 f(x)=c偶c=0 时既奇又偶
f(x)=xⁿ（n 偶）偶x², x⁴
f(x)=xⁿ（n 奇）奇x, x³
f(x)=|x|偶关于 y 轴
f(x)=1/x奇定义域 x≠0 对称
sin x奇关于原点
cos x偶关于 y 轴
奇偶与单调的联动（高频考点） 奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同；
偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反。
记忆：奇同偶反。

运算规律

组合结果
奇+奇奇
偶+偶偶
奇×奇偶
偶×偶偶
奇×偶奇

⑤ 用法场景与典型例题

例1（判断）判断 f(x)=x³+x 的奇偶性。
① 定义域 ℝ 关于原点对称。② f(−x)=(−x)³+(−x)=−x³−x=−(x³+x)=−f(x)。奇函数。
例2（判断）判断 f(x)=x²+x 的奇偶性。
① 定义域 ℝ 对称。② f(−x)=x²−x。它既不等于 f(x)=x²+x，也不等于 −f(x)=−x²−x。非奇非偶。
例3（利用性质）奇函数 f(x) 在 [3,7] 上最小值为 2，求它在 [−7,−3] 上的最值。
奇函数在对称区间同单调。[3,7] 上最小值 2，即 f(3)=2（若增）。由奇 f(−3)=−f(3)=−2。在 [−7,−3] 上最大值为 −2。最大值 −2。
例4（f(0)=0）奇函数 f(x) 在 ℝ 上连续，已知 f(2)=5，求 f(0)+f(−2)。
f(0)=0（奇函数在 0 有定义）；f(−2)=−f(2)=−5。和为 0+(−5)=−5。

⑥ 中国学生高频错误诊断（4 条）

错误 1：不查定义域就判断f(x)=x²，x∈[−1,2]，直接说偶——错！定义域 [−1,2] 关于原点不对称（2 的对称点 −2 不在内），非奇非偶。
错误 2：忘了 f(0)=0 的推论奇函数求参数时，代 x=0 得 f(0)=0 是常用突破口。
错误 3：奇偶与单调联动记反奇在对称区间同单调，偶反单调。别记成"奇反"。
错误 4：f(−x)=f(x) 与 f(−x)=−f(x) 张冠李戴偶是等于自身，奇是等于相反数。判断时把算出来的 f(−x) 整理成 −f(x) 或 f(x) 的形式再说。

⑦ 考点与真题演练（3 题）

考法形式应对
判断奇偶选择/填空定义域对称+算 f(−x)
奇偶+单调由一半区间推另一半奇同偶反
f(0)=0 求参奇函数在 0 有定义代 0 列方程

基础1. f(x)=x²+1 是？

中档2. 奇函数 f(x) 在 (0,+∞) 上递增，则在 (−∞,0) 上？

拔高3. 偶函数 f(x) 在 [0,+∞) 上 f(x)=x−1，则 f(−2)=？

第 3 题解析偶 f(−2)=f(2)。f(2)=2−1=1。故 f(−2)=1。

⑧ 必背公式卡

偶函数：f(−x)=f(x)，关于 y 轴对称 左右对折
奇函数：f(−x)=−f(x)，关于原点对称 转 180°
前提：定义域关于原点对称 不对称即非奇非偶
推论：奇在 0 有定义 ⇒ f(0)=0 常用求参
联动：奇函数对称区间同单调，偶函数反单调 奇同偶反
运算：奇×偶=奇，奇+奇=奇，偶+偶=偶 类比正负号

⑨ 应用输出：用奇偶性省力

画图省力
已知偶函数 y=f(x) 在 y 轴右侧的图像是一条下降曲线，问左侧长什么样？（偶关于 y 轴对称，左侧是右侧的镜像——上升曲线。）
口述训练
合上书说："判断奇偶两步：先看定义域对不对称，再算 f(−x)。偶等于自己，奇等于相反数。奇在对称区间同增减，偶反着来。"

⑩ 分层练习 18 题（基础 6 + 中档 6 + 拔高 6）

▍基础 6 题

基础1f(x)=x 是奇是偶？
f(−x)=−x=−f(x)，奇。
基础2f(x)=x² 是？
f(−x)=x²=f(x)，偶。
基础3f(x)=|x| 是？
f(−x)=|−x|=|x|=f(x)，偶。
基础4f(x)=1/x 是？
f(−x)=−1/x=−f(x)，奇。
基础5奇函数 f(3)=7，求 f(−3)。
f(−3)=−f(3)=−7。
基础6偶函数 f(−2)=5，求 f(2)。
f(2)=f(−2)=5。

▍中档 6 题

中档7f(x)=x³−x 是？
f(−x)=−x³+x=−(x³−x)=−f(x)，奇。
中档8f(x)=x²+2x+1 是？
=(x+1)²，f(−x)=x²−2x+1≠f(x) 也≠−f(x)，非奇非偶。
中档9奇 f(x) 在 ℝ 有定义，f(0)=？
0。
中档10偶 f(x) 在 [0,+∞) 递增，比较 f(−1) 与 f(2)。
f(−1)=f(1)。[0,+∞) 增，1<2，故 f(1)<f(2)，即 f(−1)<f(2)。
中档11奇 f(x) 在 (0,+∞) 增，比较 f(−2) 与 f(−3)。
奇在 (−∞,0) 也增，−2>−3，故 f(−2)>f(−3)。
中档12f(x)=x²，x∈[−1,2]，奇偶性？
定义域不对称（2 的对称点 −2 不在内），非奇非偶。

▍拔高 6 题

拔高13f(x) 是奇函数且 x≥0 时 f(x)=x²，求 x<0 时 f(x)。
x<0 时 −x>0，f(−x)=(−x)²=x²，f(x)=−f(−x)=−x²。
拔高14f(x) 偶，在 [−2,0] 递减，则在 [0,2] 上？
偶在对称区间反单调，[−2,0] 减 → [0,2] 增。
拔高15奇 f(x) 在 [1,5] 最大值为 3，求 [−5,−1] 最小值。
奇同单调，[1,5] 最大 3 对应 f(5)=3，f(−5)=−3。[−5,−1] 上最小值为 −3。
拔高16f(x)=(a−1)x²+(b−1)x 是奇函数，求 a,b。
奇函数偶次项系数必须 0：a−1=0→a=1；一次项保留 b 任意。验证：a=1 时 f=(b−1)x 是奇。a=1，b 任意。
拔高17f(x)=x·(x−1)(x+1) 奇偶性？
=x(x²−1)，奇×偶=奇。奇函数。
拔高18f(x) 偶，且 f(x)=f(2−x)，则周期为？
偶 f(−x)=f(x)，结合 f(x)=f(2−x) 得 f(−x)=f(2−x)，即 f(t)=f(t+2)，周期 2。

⑪ 记忆口诀 + 7 天复习计划

三句口诀 ① 定义域先看对称，不对称直接非奇非偶。
② 偶等于自身（f(−x)=f(x)），奇等于相反数。
③ 奇函数零处若有定义，f(0)=0；奇同偶反记单调。
天任务自检
第 1 天读③④，背两个定义式能默写出 f(−x) 两式
第 2 天基础 1-6常见函数奇偶
第 3 天中档 7-12每题先查定义域对称
第 4 天拔高 13-18利用奇偶求对称区间解析式
第 5 天做⑦真题 3 题f(0)=0 用对
第 6-7 天口述判断两步+奇同偶反不看资料说顺

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