本科数学 · 不定积分：求导的逆运算

不定积分：求导的逆运算

Indefinite Integral · 知道速度反推位移

【章首引子】交警问你："刚才那段路你开了多快？"你说不知道速度表，但我知道每一刻的瞬时速度。把这些瞬时速度一路加起来，就还原出总位移——这就是积分。问题是：你从哪出发的？不知道，所以答案得带个"+C"。

① 是什么：原函数与常数 C

啥不定积分的定义

定义：若 F′(x) = f(x)，则 F(x) 是 f(x) 的一个原函数。∫f(x)dx = F(x) + C，C 是任意常数。

为什么带 C：常数的导数是 0，所以原函数有无数个，彼此差一个常数。你只知道速度、不知道起点，位移自然差个起点。

② 怎么想到的：两大换元法 + 分部

思解题心法：三招

凑微分（第一类换元）：看见"复合 + 内层导数正好在外层"，就令 u=内层，把 dx 变成 du。

证不定积分：求导的逆运算的核心定理与公式

核心定理：①微积分基本定理（第一部分）：若 $f$ 连续且 $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t$，则 $F'(x)=f(x)$。②牛顿-莱布尼茨公式：$\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$，其中 $F'=f$。③换元积分：$\int f(g(x))\,g'(x)\,\mathrm{d}x=\int f(u)\,\mathrm{d}u$（令 $u=g(x)$）。④分部积分：$\int u\,\mathrm{d}v=uv-\int v\,\mathrm{d}u$。⑤线性性：$\int(\alpha f+\beta g)=\alpha\int f+\beta\int g$。

推导思路：①设 $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t$，$f$ 在 $[a,b]$ 上连续，取自变量增量 $h$。②增量差 $F(x+h)-F(x)=\int_{a}^{x+h}f-\int_{a}^{x}f=\int_{x}^{x+h}f(t)\,\mathrm{d}t$，即最后一小段的面积。③由积分中值定理，存在 $\xi$ 介于 $x$ 与 $x+h$ 之间，使该积分 $=\,f(\xi)\cdot h$。④除以 $h$ 得 $\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(\xi)$；令 $h\to 0$，则 $\xi\to x$ 且 $f$ 连续，故 $F'(x)=f(x)$。

直觉把握：求导是"看变化率"，积分是"把变化率一点点攒起来"，基本定理说这俩互为逆操作——就像"每天的流水账"和"账户余额"，知道流水能反推余额，余额求导就是流水。AI/工程里，概率密度积分得到分布函数、连续型期望 $E[X]=\int x\,p(x)\,\mathrm{d}x$、连续分布归一化常数 $Z=\int p(x)\,\mathrm{d}x$，全靠这一条定理撑着。

三角代换（第二类换元）：带 √(a²−x²) 令 x=a sin t，带 √(x²+a²) 令 x=a tan t，去根号。

分部积分：∫u dv = uv − ∫v du。口诀"反对幂三指"——谁靠前谁当 u（因为 u 求导会变简单）。

③ 完整解法：三个例题

例题1：∫2x·cos(x²) dx

【审题】内层 x² 的导数正好是外面的 2x，自己带了钥匙。

思路：凑微分。

逐步解法：令 u=x²，du=2x dx。原式 = ∫cos u du = sin u + C = sin(x²) + C。

例题2：∫x·eˣ dx

【审题】幂函数乘指数，用分部。

思路：u=x（幂靠前当 u），dv=eˣdx。

逐步解法：du=dx，v=eˣ。原式 = x·eˣ − ∫eˣdx = x eˣ − eˣ + C。

例题3：∫x·sin x dx

【审题】幂乘三角，分部。

思路：u=x，dv=sin x dx。

逐步解法：du=dx，v=−cos x。原式 = −x cos x − ∫(−cos x)dx = −x cos x + sin x + C。

基本积分表（求导表倒着背） $\int x^n dx = x^{n+1}/(n+1) + C (n\neq −1)$ | $\int e^x dx = e^x + C$ | $\int (\frac{1}{x})dx = ln|x| + C$
$\int cos x dx = sin x + C$ | $\int sin x dx = −cos x + C$ | 分部：$\int u dv = uv − \int v du$

④ 用途与案例

物理：加速度→速度→位移

已知加速度积分得速度，再积得位移——火箭轨道就是这么算的。

经济：边际→总量

已知边际成本（多生产一件花多少钱），积分回去就是总成本函数。

统计：累积分布函数

概率密度积分出分布函数——概率论的半壁江山是积分。

信号处理

电流积分出电量、速度积分出位移——传感器数据的物理量还原全靠它。

⑤ 延展

展知识衔接地图

往研究生走：这里算不出来的积分（如 ∫e^(−x²)dx）会引出特殊函数（误差函数 erf）；有理函数积分的部分分式法是复变函数留数定理的前奏。

思维陷阱

忘写 +C。不定积分答案少了常数 C，考试直接扣分。求导会把常数抹掉，积分就得补回来。

n=−1 时硬套幂公式。∫xⁿ 在 n=−1 时失效——那是 ln|x|，别套成 x⁰/0。

练习

【基础】求 ∫(3x² + 2x + 1) dx。

查看思路与解答

逐项：x³ + x² + x + C。记得常数！

【自评反馈】和答案对得上 → 继续下一题；对不上 → 回到本页"是什么"和例题区，把卡住的那步再推一遍。

【进阶】求 ∫x·ln x dx。

查看思路与解答

分部：u=ln x（对数靠前），dv=x dx。du=dx/x，v=x²/2。原式 = (x²/2)ln x − ∫(x²/2)(dx/x) = (x²/2)ln x − ∫x/2 dx = (x²/2)ln x − x²/4 + C。

【自评反馈】和答案对得上 → 继续下一题；对不上 → 回到本页"是什么"和例题区，把卡住的那步再推一遍。

费曼学习法：讲给别人听

① 用自己的话讲：不定积分就是求导的逆运算，结果是一族彼此差一个常数 C 的原函数。

② 举个反例（什么条件下不成立）：不是每个初等函数都有写得出来的原函数（e^(−x²)、sin x/x 就积不出来）；忘了常数 C 是考试经典翻车。

③ 哪里还说不清：换元法和分部积分，看到式子怎么判断该上哪一把刀？

记

小结卡

① 不定积分 = 求导逆运算，答案必带 +C。

② 凑微分找"自己带钥匙"，分部积分"反对幂三指"挑 u。