本科数学 · 定积分与应用：无限分割求和

定积分与应用：无限分割求和

Definite Integral · 黎曼和与牛顿-莱布尼茨

【章首引子】不规则图形的面积怎么算？老办法：把它切成无数个小矩形，一个个量了加起来。切得越细，加得越准。切到无限细，那个和就叫定积分。但牛顿和莱布尼茨告诉你：不用真切，找个原函数代两头一减就行——这是整个微积分的皇冠明珠。

① 是什么：黎曼和与微积分基本定理

啥定积分的定义与牛-莱公式

黎曼和：把 [a,b] 切成无穷多个小窄条，每个高 f(xᵢ)、宽 Δx，全加起来让 Δx→0，就是 ∫[a→b] f(x)dx。

牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理）：∫[a→b] f(x)dx = F(b) − F(a)，F 是 f 的原函数。这一行把积分和求导焊成互逆——求面积不用真数小条。

② 怎么想到的：微元法

思解题心法：微元法三步

取微元：在任意位置 x 取一小段 dx，写出这个微元上的量 dQ（面积、体积、功…）。

定积分限：x 从哪到哪，就从哪积到哪。

找原函数代两头：用牛-莱公式算出总量。

③ 完整解法：三个例题

证定积分与应用：无限分割求和的核心定理与公式

核心定理：①定积分的定义（黎曼和）：$\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i)\,\Delta x_i$，其中 $\lambda=\max\Delta x_i$。②积分中值定理：存在 $\xi\in[a,b]$ 使 $\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a)$。③区间可加性：$\int_{a}^{c}f=\int_{a}^{b}f+\int_{b}^{c}f$。④旋转体体积：$V=\pi\int_{a}^{b}[f(x)]^{2}\,\mathrm{d}x$。⑤弧长：$L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+[f'(x)]^{2}}\,\mathrm{d}x$。

推导思路：①把 $[a,b]$ 切成 $n$ 个宽 $\Delta x$ 的小竖条，第 $i$ 条高度取 $f(\xi_i)$。②这一条绕 $x$ 轴旋转一周，扫出一个薄圆柱（半径 $f(\xi_i)$、厚 $\Delta x$），体积 $\Delta V_i\approx\pi\,[f(\xi_i)]^{2}\,\Delta x$。③把所有薄片加起来：$V\approx\sum\limits_{i=1}^{n}\pi\,[f(\xi_i)]^{2}\,\Delta x$，这恰好是函数 $\pi[f(x)]^{2}$ 的一个黎曼和。④令 $\lambda=\max\Delta x\to 0$，由①中定积分的定义，黎曼和的极限就是积分，故 $V=\pi\int_{a}^{b}[f(x)]^{2}\,\mathrm{d}x$。

直觉把握：定积分就是"切成无数薄片、每片算个小矩形、再全部加起来"——切得越细越准，细到极限就是真值。AI/工程里，它就是离散求和 $\sum$ 在连续世界的推广：概率的期望、信号的卷积、图像渲染的像素累积，还有"用蒙特卡洛采样去近似一个积分"（渲染、贝叶斯推断都这么干），本质上都是这个黎曼和思想。

例题1：∫₀¹ x² dx

【审题】找原函数代两头。

思路：x² 的原函数是 x³/3。

逐步解法：F(1)−F(0) = 1/3 − 0 = 1/3。抛物线底下那块曲边形面积正好三分之一。

例题2：∫₀^π sin x dx

【审题】原函数是 −cos x。

思路：代两头。

逐步解法：−cos π − (−cos 0) = −(−1) + 1 = 2。半个正弦波下面积正好是 2。

例题3：旋转体体积

【审题】y=x² 在 [0,1] 绕 x 轴旋转，体积多少？

思路：每个 x 处切薄圆盘，半径 f(x)。

逐步解法：V = π∫₀¹ (x²)² dx = π·[x⁵/5]₀¹ = π/5。

定积分常用公式 $\int [a\rightarrow b] f(x)dx = F(b) − F(a)$ | $\text{旋转体体积} V = \pi \int [a\rightarrow b] [f(x)]^2 dx$
$\text{弧长} L = \int [a\rightarrow b] \sqrt (1 + [f′(x)]^2) dx$ | $\text{变力做功} W = \int [a\rightarrow b] F(x) dx$

④ 用途与案例

几何：面积体积弧长

花瓶、气瓶、整流罩——绕轴一转，体积积分就出来了。

物理：变力做功

弹簧拉得越长越费力，dW=F(x)dx，总功一层层积分。水坝压力同理。

经济：边际→总量

总收益 = 边际收益一路积分累加；消费者剩余也是积分。

质心与转动惯量

薄片质心、飞轮转动惯量，都是"加权积分"——工程力学的核心。

⑤ 延展

展知识衔接地图

往研究生走：黎曼积分会遇到"不连续函数积不出来"的尴尬，研究生的实变函数/勒贝格积分就是来救场的。二重、三重积分 → 曲线曲面积分 → 格林公式、高斯公式 → 向量分析。

思维陷阱

定积分有正负，面积没有。函数在 x 轴下方时积分值是负的。真算"几何面积"得对 f(x) 取绝对值：∫|f|dx 才是面积。

上下限代反。F(b)−F(a) 是大减小，不是小减大。

练习

【基础】用几何意义说明 ∫₋₁¹ x³ dx = 0。

查看思路与解答

x³ 是奇函数，对称区间上正负面积抵消，= 0。

【自评反馈】和答案对得上 → 继续下一题；对不上 → 回到本页"是什么"和例题区，把卡住的那步再推一遍。

【进阶】求 y = x² 与 y = x 围成的面积。

查看思路与解答

交点：x²=x → x=0 或 1。在 [0,1] 上 x ≥ x²，面积 = ∫₀¹ (x − x²)dx = [x²/2 − x³/3]₀¹ = 1/6。

【自评反馈】和答案对得上 → 继续下一题；对不上 → 回到本页"是什么"和例题区，把卡住的那步再推一遍。

费曼学习法：讲给别人听

① 用自己的话讲：定积分就是把区间无限细分、再把小矩形面积加起来取极限；牛顿-莱布尼茨公式把它和原函数打通。

② 举个反例（什么条件下不成立）：可积不要求处处连续（有限个间断点也能积），但无界函数一定不可积。

③ 哪里还说不清：变上限积分 F(x)=∫ₐˣ f(t)dt 求导，为什么能直接把上限代成 f(x)？

记

小结卡

① 定积分 = 无限切小条再求和；牛-莱公式 ∫[a→b]f=F(b)−F(a) 是皇冠明珠。

② 微元法：取微元、定限、代原函数；算面积记得取绝对值。