本科数学 · 导数应用：最值、作图、泰勒

导数应用：最值、作图、泰勒

Applications · 导数是你的探路雷达

【章首引子】老板让你设计一个罐头盒，体积固定 1 升，怎么用料最省？你说"随便做个圆的"——老板摇头。掏出导数：h = 2r，高正好等于直径。这不是背答案，是导数帮你在无穷多种设计里把最优的那个揪出来。

① 是什么：导数告诉你上坡下坡

啥单调、极值、凹凸、中值

单调性：f′(x)>0 在涨，f′(x)<0 在跌。极值：f′(x)=0 的点叫驻点，切线水平，往往是山顶或谷底。凹凸：f″>0 是凹（开口向上像碗），f″<0 是凸（像拱）；凹凸切换的点叫拐点。

中值定理：f 连续可导，两端点连线的斜率，中间必有一点切线斜率正好等于它（拉格朗日）。说人话：你两小时开 120 公里，中间必有某一刻车速表正好显示 60。罗尔定理是它两端等高的特例，柯西定理把它推广到两个函数。

洛必达法则：0/0 或 ∞/∞ 型极限，可以分子分母分别求导再比。

② 怎么想到的：优化问题的标准动作

思解题心法：优化四步走

列目标函数：把"要最大/最小的量"写成变量的函数。

用约束消元：固定体积、预算等条件，把多变量减到一个。

求导令其为 0：f′=0 找驻点。

二阶导/端点确认：f″>0 极小，f″<0 极大；闭区间再和端点比大小。

③ 完整解法：三个例题

证导数应用：最值、作图、泰勒的核心定理与公式

核心定理：①费马定理：可导函数在内点 $x_0$ 取极值，则 $f'(x_0)=0$（必要非充分，$x^{3}$ 在 $0$ 处是反例）。②拉格朗日中值定理：存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)$。③推论：$f'>0$ 则严格增，$f'<0$ 则严格减，$f''>0$ 则下凸。④泰勒公式：$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^{k}+R_n$，拉格朗日余项 $R_n=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$。⑤洛必达法则：$\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型下 $\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$。

推导思路：①构造辅助函数 $\varphi(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$，它减去的正是连接两端点的那条割线。②代端点验证：$\varphi(a)=f(a)$，又由割线定义 $\varphi(b)=f(b)-[f(b)-f(a)]=f(a)$，两端相等。③$\varphi$ 在 $[a,b]$ 连续、在 $(a,b)$ 可导，由罗尔定理存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $\varphi'(\xi)=0$。④而 $\varphi'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，代入即得 $f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

直觉把握：中值定理是"你开一段路的平均速度，一定在某个瞬间被真实速度命中过"——超速抓拍就是这个道理的执法版。泰勒公式是"用多项式临摹一条曲线"：一阶是切线（知道往哪走），二阶加上弯曲（知道拐多急）。AI/工程里，梯度下降只用一阶泰勒（所以步子大了会冲过谷底），牛顿法用二阶泰勒并直接跳到二次近似的最低点；学习率调多大，本质上取决于损失函数的二阶曲率。

例题1：罐头盒用料最省

【审题】体积 V=πr²h 固定，求 S=2πr²+2πrh 最小。

思路：用 h=V/(πr²) 消元，对 r 求导。

逐步解法：
① h = V/(πr²)，代入 S = 2πr² + 2V/r
② dS/dr = 4πr − 2V/r² = 0 → 4πr³ = 2V = 2πr²h → h = 2r
③ 二阶导 d²S/dr² = 4π + 4V/r³ > 0，确认为极小
答案：h = 2r（高等于直径）时用料最省。

例题2：洛必达求 lim(x→0) (eˣ−1)/x

【审题】x→0 时分子分母都→0，0/0 型。

思路：分别求导再比。

逐步解法：分子 (eˣ−1)′ = eˣ，分母 x′ = 1。极限 = lim eˣ/1 = e⁰ = 1。

例题3：泰勒近似 e^0.01

【审题】复杂函数在 a=0 附近用多项式伪造。

思路：取一阶展开。

逐步解法：eˣ ≈ e⁰ + e⁰·x = 1 + x。代入 x=0.01：≈ 1.01（实际 1.01005…，一阶已经很准）。

泰勒公式（带拉格朗日余项） $f(x) = f(a) + f′(a)(x−a) + \frac{f''(a)}{2!}(x−a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a)^n + R_n$
其中 $R_n = \frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n+1)!}(x−a)^{n+1}$（ξ 在 a 与 x 之间）

④ 用途与案例

利润最大化

定价太高没人买、太低不赚钱，利润曲线是抛物线，顶点就是最优定价。

工程近似

GPS 定位、计算机算 sin/cos，全靠泰勒展开——用多项式逼出复杂函数。

机器学习二阶判据

海森矩阵正定 = 损失函数在该处是碗底（极小值），和一元的 f″>0 一个道理。

物理小振动

弹簧在平衡位置附近，用泰勒一阶把非线性力线性化——这是所有振动分析的起点。

⑤ 延展

展知识衔接地图

往研究生走：泰勒公式 → 数值分析里的欧拉法、龙格-库塔法；中值定理是整个数学分析证明体系的命根子。往 AI 走：二阶泰勒展开 + 海森矩阵 = 牛顿法，是比梯度下降更快的优化器。

思维陷阱

f′(x)=0 不一定是极值。y=x³ 在 x=0 处导数为 0，但两边都在涨，是"平地上的小坡"。判断：看 f′ 左右是否变号，或看二阶导。

闭区间最值忘了端点。最值可能在驻点，也可能在区间端点，必须一起比。

练习

【基础】求 f(x) = x² − 4x + 3 的极值。

查看思路与解答

f′ = 2x−4 = 0 → x=2。f″=2>0 是极小。f(2) = 4−8+3 = −1（极小值）。

【自评反馈】和答案对得上 → 继续下一题；对不上 → 回到本页"是什么"和例题区，把卡住的那步再推一遍。

【进阶】用泰勒展开前两项估算 cos(0.1)。

查看思路与解答

cos x ≈ 1 − x²/2。代入 x=0.1：≈ 1 − 0.01/2 = 0.995（实际 0.995004…）。

【自评反馈】和答案对得上 → 继续下一题；对不上 → 回到本页"是什么"和例题区，把卡住的那步再推一遍。

费曼学习法：讲给别人听

① 用自己的话讲：一阶导看单调和极值，二阶导看凹凸和拐点，泰勒公式把难搞的函数近似成好算的多项式。

② 举个反例（什么条件下不成立）：f'=0 的驻点不一定是极值（y=x³ 在 0 处导数为 0 却单调）；f''=0 时拐点判据直接失灵。

③ 哪里还说不清：泰勒余项到底能压到多小？什么时候说"近似靠谱"心里有底？

记

小结卡

① f′ 看增减、f″ 看凹凸、f′=0 找极值；闭区间最值 = 驻点值和端点值比大小。

② 泰勒公式 = 用多项式局部伪造函数；洛必达专治 0/0、∞/∞。