本科数学 · 导数与微分

导数与微分

Derivative · 车速表上那根针

【章首引子】你开车看车速表，指针指 80——这个 80 不是你开了多远，是"此刻你冲多猛"。这就是导数：瞬时变化率。位移的导数是速度，速度的导数是加速度。从这一刻开始，你脑子里要装一台"瞬时测谎仪"。

① 是什么：切线斜率与瞬时变化率

啥导数的两种身份

定义：f′(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) − f(x)] / Δx。就是"平均变化率在时间隔得无限短时"的极限。

几何意义：曲线在该点切线的斜率。斜率大=陡，斜率负=下坡。物理意义：瞬时变化率（位移对时间的导数就是速度）。

微分 dy = f′(x)dx：用那根切线来局部代替曲线——把弯的一小段"拉直"了算，误差是高阶无穷小。这是线性近似的祖宗。

② 怎么想到的：导数为什么被发明

思解题心法：求导就是"剥洋葱"

先认结构：是基本函数（直接套公式表），还是四则组合（套法则），还是复合（链式法则）？

证导数与微分的核心定理与公式

核心定理：①定义：$f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$。②可导必连续，连续未必可导（$f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处连续不可导）。③四则运算：$(uv)'=u'v+uv'$，$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$。④链式法则：$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$。⑤微分 $\mathrm{d}y=f'(x)\,\mathrm{d}x$，即"用切线替代曲线的线性近似"。

推导思路：①设 $y=u(x)v(x)$，取自变量增量 $\Delta x$，则 $\Delta y=u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)$。②在中间人为插入 $u(x+\Delta x)v(x)$ 并同时减去它，配成 $\Delta y=u(x+\Delta x)\,[v(x+\Delta x)-v(x)]+v(x)\,[u(x+\Delta x)-u(x)]$。③两边除以 $\Delta x$ 得 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=u(x+\Delta x)\frac{\Delta v}{\Delta x}+v(x)\frac{\Delta u}{\Delta x}$。④令 $\Delta x\to 0$：因可导必连续，$u(x+\Delta x)\to u(x)$；两个差商分别趋于 $v'$、$u'$，故 $(uv)'=uv'+vu'$。

直觉把握：导数是"此刻的变化速度"，几何上就是切线的斜率；微分是说"在极近的地方，弯的曲线可以当直的看"。AI/工程里，$\frac{\partial L}{\partial w}$ 直接回答"这个权重往哪调、损失降得最快"，梯度下降整个算法就建立在这一行定义上；自动驾驶里速度是位置的导数、加速度是速度的导数，也是同一个东西。

复合函数从外往里剥：外层导完"留原样"，内层导数乘在后。口诀："外层导完留原样，内层导数乘在后。"

隐函数两边同时对 x 求导：遇到 y 就把 y 当中介（链式法则），最后解出 y′。

③ 完整解法：三个例题

例题1：f(x) = x³ + eˣ + ln x 的导数

【审题】逐项求导，再相加。

思路：和的导数 = 导数的和。

逐步解法：(x³)′ = 3x²；(eˣ)′ = eˣ；(ln x)′ = 1/x。答案：f′(x) = 3x² + eˣ + 1/x。

例题2：d/dx [e^(sin x)]

【审题】复合：外层 e^u，内层 u = sin x。

思路：链式法则。

逐步解法：外层 e^u 的导还是 e^u（留原样 = e^(sin x)）；内层 sin x 导成 cos x。相乘：e^(sin x) · cos x。

例题3：气球膨胀——相关变化率

【审题】半径 r 每秒长 1 cm，体积 V=(4/3)πr³ 涨多快？

思路：对 t 用链式法则。

逐步解法：dV/dt = 4πr² · dr/dt。代入 dr/dt = 1：dV/dt = 4πr²（cm³/s）。说人话：你吹气球时越往里越鼓，体积涨得比半径快得多。

基本求导公式表（必背） $(x^n)′ = n\cdot x^{n-1}$ | $(sin x)′ = cos x$ | $(cos x)′ = −sin x$
$(e^x)′ = e^x$ | $(ln x)′ =\frac{1}{x}$ | $\text{常数}′ = 0$
四则：$(uv)′ = u′v + uv′$ | $(\frac{u}{v})′ = (u′v − uv′)/v^2$
链式：$\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f′(g(x))\cdot g′(x)$

④ 用途与案例

物理：位移→速度→加速度

位置导一次是速度，导两次是加速度。自由落体 s=½gt²，v=gt，a=g。

经济：边际成本

多生产一件产品多花的钱 = 成本函数的导数。定价决策全靠"边际"两个字。

AI：反向传播的祖宗

链式法则把"损失对每层参数的梯度"一层层传回去——神经网络训练的核心数学就是链式法则。

医学：药剂浓度变化率

血药浓度随时间的导数 = 吸收/代谢速率，决定给药频率。

⑤ 延展

展知识衔接地图

往研究生走：一元导数 → 多元微积分的偏导、方向导数 → 泛函分析里把函数当向量、导数变成算子。往 AI 走：梯度下降 = 沿负导数方向走一小步，是所有深度学习训练的底层动作。

思维陷阱

链式法则漏层。求 sin(x²) 的导，有人写 cos(x²) 就交卷——忘了里层 x² 还要导成 2x，正确答案 cos(x²)·2x。

(uv)′ ≠ u′v′。是 u′v + uv′。两个函数相乘的导数，是"各导一次轮流来"。

练习

【基础】求 f(x) = 3x⁴ − 2x² + 7 的导数。

查看思路与解答

逐项：(3x⁴)′ = 12x³，(−2x²)′ = −4x，常数 7 导成 0。答案：12x³ − 4x。

【自评反馈】和答案对得上 → 继续下一题；对不上 → 回到本页"是什么"和例题区，把卡住的那步再推一遍。

【进阶】用隐函数求导求 x² + y² = 25 在点 (3,4) 处的切线斜率。

查看思路与解答

两边对 x 求导：2x + 2y·y′ = 0 → y′ = −x/y。代入 (3,4)：y′ = −3/4。这就是圆在该点的切线斜率。

【自评反馈】和答案对得上 → 继续下一题；对不上 → 回到本页"是什么"和例题区，把卡住的那步再推一遍。

费曼学习法：讲给别人听

① 用自己的话讲：导数就是切线斜率，就是"这一刻变化多快"，本质是增量比 Δy/Δx 在 Δx→0 时的极限。

② 举个反例（什么条件下不成立）：可导必连续，但连续不一定可导——y=|x| 在 0 处连续，左右导数一正一负，尖点不可导。

③ 哪里还说不清：复合函数链式法则什么时候会漏项？二阶导的莱布尼茨公式怎么记？

记

小结卡

① 导数 = 切线斜率 = 此刻变化率；微分 dy=f′(x)dx 是局部线性近似。

② 链式法则"剥洋葱"别漏层；eˣ 导完还是自己，是微积分里最嚣张的函数。