杨杨辉三角的秘密

每一行是 (a+b)ⁿ 的系数，且每个数 = 肩上两数之和（C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k)）。求特定项系数就用通项公式对号入座，不用整行展开。

期把结果量化成 X，再算它的"平均值"

分布列：X 取每一个值的概率列成表，概率加起来必须等于 1。期望 E(X) = Σ xᵢ·pᵢ（就是加权平均）；方差 D(X) = Σ (xᵢ−EX)²·pᵢ = E(X²) − [E(X)]²，开根号是标准差。期望管"长期平均"，方差管"赌性有多大"。

条条件概率与贝叶斯：把"已知"塞进分母

条件概率：在事件 $B$ 已经发生的条件下，$A$ 发生的概率：$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$（$P(B)>0$）。分母一定是你已经知道的那个事件——它把所有"可能性"重新缩放了一遍。

独立性：若 $A$ 发生不影响 $B$，即 $P(A\mid B)=P(A)$，则 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$，称 $A$、$B$ 独立。注意：独立 ≠ 互斥。互斥是"不能同时发生"，独立是"互不影响"——两件事可以同时发生又互不影响（比如连抛两次硬币，第一次正不影响第二次正）。

贝叶斯公式（两行推导）：由交集的两种写法出发：
$P(A\cap B)=P(A\mid B)\,P(B)=P(B\mid A)\,P(A)$。
两边同除以 $P(B)$ 即得 $P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}$。
大白话：贝叶斯让你"反着问"——已知结果 $B$，反推原因 $A$ 的可能性有多大。式子里 $P(A)$ 是先验（事先猜），$P(A\mid B)$ 是后验（看到证据后更新过的猜）。

在 AI / 工程里用在哪：输入法联想、垃圾邮件过滤、医疗诊断，全是贝叶斯。比如输入法看到你打了"wo ai"，要猜下一个字是"你"还是"喝"——它算 $P(\text{你}\mid\text{wo ai})$，靠的是从海量语料里数出 $P(\text{wo ai 你})$ 与 $P(\text{wo ai})$ 的频率比。你手机键盘上那串联想词，就是贝叶斯公式在实时跑。

抽不放回抽样：超几何分布 vs 二项分布

放回 vs 不放回，天差地别。袋中有 $N$ 个球，其中 $M$ 个红球。抽 $n$ 次：
有放回（每次概率不变）→ 二项分布 $X\sim B(n,\frac{M}{N})$，期望 $np$、方差 $np(1-p)$。
不放回（每次概率在变）→ 超几何分布，概率质量函数为 $P(X=k)=\frac{C_M^k\,C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$（从 $M$ 个红球里挑 $k$ 个、从其余 $N-M$ 个里挑 $n-k$ 个，除以总挑法）。

何时用哪个：总体很大、抽得很少时，不放回几乎等于放回，超几何近似成二项——所以民意调查抽几千人也能用二项分布估误差。总体很小、抽得很多（比如一副扑克抽 5 张算同花）就必须用超几何，因为"不放回"严重改变了后面每张牌的概率。

在 AI / 工程里用在哪：强化学习里的"经验回放"从缓冲区随机不放回采样一批样本训练——它的方差特性就是超几何的近亲；而"有放回自助采样（bootstrap）"则是二项/伯努利思维。分清这两种抽样，才不会算错置信区间。

态钟形曲线 N(μ, σ²)

人的身高、考试分数、测量误差，都长成中间高两头低的钟形。μ 是中心（均值），σ 是胖瘦（标准差）。3σ 原则：约 68% 的数据落在 μ±σ 内，95% 落在 μ±2σ，99.7% 落在 μ±3σ 内。标准化：Z = (X − μ)/σ 把任意正态变成标准正态 N(0,1)，查表就完事。