均算数平均 ≥ 几何平均 ≥ 调和平均

对正数 a₁,…,aₙ：(a₁+…+aₙ)/n ≥ ⁿ√(a₁…aₙ) ≥ n / (1/a₁+…+1/aₙ)。三元最常用：(a+b+c)/3 ≥ ∛(abc)。配套两句口诀："积定和最小，和定积最大"——三个正数乘积固定 27，和最小是 9（当 a=b=c=3）；和固定 9，积最大是 27。

排排序不等式

两组数 a₁≤a₂≤…≤aₙ，b₁≤b₂≤…≤bₙ。则 顺序和 ≥ 乱序和 ≥ 逆序和：Σaᵢbᵢ ≥ Σaᵢb_{σ(i)} ≥ Σaᵢb_{n+1−i}。直觉：大配大、小配小乘起来最大，大小交叉配反而小。求"最小运费""最不公平分配"时直接套。

凸凸函数与凸集：为什么"局部最优"就是"全局最优"

凸集：一个集合里任意两点连线上的所有点都还在集合内，就叫凸集（比如整块圆盘、整段区间；挖了个洞的甜甜圈就不是）。凸函数：函数图像上任意两点连成的弦都在图像上方（或贴着），形状像一只开口向上的碗。代数定义：$f(\lambda x+(1-\lambda)y)\le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$（对任意 $\lambda\in[0,1]$）。

关键性质：凸函数的任意局部极小值，都是全局极小值。因为碗只有一个坑，无论从哪往下走，最终都落到同一个底。二阶判别：若处处 $f''(x)\ge 0$，则 $f$ 是凸函数（曲线处处向上弯，像 $x^2$）。

在 AI / 工程里用在哪：训练神经网络时，损失函数是一座"坑洼连绵"的山——非凸，所以容易卡在局部最优。但很多经典问题（最小二乘、岭回归、SVM 的凸优化）的损失曲面是凸的，保证梯度下降一定能走到全局最低点。理解"凸"与"非凸"，才明白为什么大模型训练需要技巧（学习率、动量、多随机初始化）去逃离坏坑。