值中值定理：为什么"导数恒正"就"一定递增"

罗尔定理（特例）：若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导，且 $f(a)=f(b)$，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $f'(\xi)=0$。几何意义：两端一样高，中间总有某个"坡顶或坡谷"是平的。

拉格朗日中值定理（核心）：若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$，即 $f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。几何意义：曲线上总能找到一点，它的切线斜率恰等于两端连线的斜率（弦的斜率 = 某点切线斜率）。

它保证了单调性：若在区间内 $f'(x)>0$ 恒成立，则对任两点 $x_1<x_2$，存在 $\xi$ 使 $f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)>0$，即 $f(x_2)>f(x_1)$。所以"导数>0 即递增"不是规定，而是中值定理推出来的定理。

洛洛必达法则：捏住 $0/0$ 和 $\infty/\infty$ 的喉咙

求极限时撞上 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$，别急着放弃——对分子分母分别求导再取极限：若 $\lim\frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型，且 $\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在，则 $\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$。

例子：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$ 是 $0/0$ 型，洛必达得 $\lim\frac{\cos x}{1}=1$。$\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}$ 是 $\infty/\infty$ 型，洛必达得 $\lim\frac{1/x}{1}=0$。一次不行可连求，直到不是不定型为止。

泰泰勒展开：用多项式给任意函数拍"局部快照"

很多函数（$\sin$、$\ln$、指数）直接算很麻烦，但用多项式逼近就简单。带拉格朗日余项的泰勒公式：
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$，其中余项 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$。

直觉：在 $x_0$ 附近，函数被"切成"取值、斜率、曲率、曲率变化……一层层拼回去。只留前两项就是线性近似 $f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$——这正是梯度下降每一步干的事：用切线代替整座山。牛顿法更进一步，用到二阶导数（曲率）来加速收敛。

积∫ₐᵇ f(x)dx = 曲线下的面积（有正负号）

微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）：若 F'(x) = f(x)，则 ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a)。求导和积分互为逆运算——求面积不用真把图形切成无数小条，找个原函数代两头就完事。常用：∫xⁿdx = x^{n+1}/(n+1)，∫eˣdx = eˣ，∫cosx dx = sinx。