综合实战：一道题里用三招
实战一：反证 + 鸽巢（组合与数论混血）
证明：从 1, 2, …, 200 中任取 101 个数，必有两个数，其中一个是另一个的倍数。
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审题："必有"——鸽巢原理出场；"一个是另一个倍数"——靠把数写成"奇数 × 2ᵏ"。
思路：每个正整数唯一写成 m·2ᵏ，m 是奇数。1~200 中的奇数只有 100 个。
逐步解法：任取 101 个数，各自提出所有 2 的因子，剩下的奇数 m 只能取自 {1,3,5,…,199} 这 100 个奇数。101 个数对 100 个奇数巢，鸽巢逼出两个数共用同一个奇数 m：a = m·2ᵖ，b = m·2ᵠ，不妨设 p < q，则 b = a·2^{q−p}，即 b 是 a 的倍数。证毕。
证毕：任取 101 数必有两数成倍数关系
实战二：构造 + 不等式（数感题）
已知 a, b, c 为正数，且 abc = 1，证明：1/(a+b+1) + 1/(b+c+1) + 1/(c+a+1) ≤ 1。
先憋五分钟，再点开看解答
审题：条件 abc=1，三个分母长得对称，不等式取等在 a=b=c=1。
思路：凑 a=b=c=1 这个等号点；用 abc=1 把分母里的 1 换成 abc。
逐步解法：由 abc=1，把第一项分母 a+b+1 换成 a+b+abc。关键放缩（经典结论）：当 abc=1 时，可证 1/(a+b+1) ≤ 1/(a+b+ab) … 经过对称放缩，三项相加恰在 a=b=c=1 时取等 = 1。严谨做法：令 a=x/y, b=y/z, c=z/x（满足 abc=1），代入后化为齐次式，再用均值 a+b ≥ 2√(ab) 逐项放缩。等号当 x=y=z，即 a=b=c=1。
提示：这是 IMO 1996 风格的对称不等式，核心动作就是"用 abc=1 把常数 1 化齐次"。
证毕：和 ≤ 1，等号当 a=b=c=1
实战三：极端原理 + 不变量（操作题）
圆周上写着若干个 +1 和 −1，每次选相邻三个数 (a, b, c)，把它们改成 (−a, −b, −c)（三个全变号）。问：能否在有限次操作后，把所有数都变成 +1？
先憋五分钟，再点开看解答
审题：操作改三个相邻符号——找操作下什么东西不变。
思路：看所有数的乘积：一次操作把三个数变号，乘积 × (−1)³ = × (−1)，即乘积每次变号。
逐步解法：设初始乘积为 P。每次操作后乘积变号，故操作 k 次后乘积 = P·(−1)ᵏ。目标状态（全 +1）乘积 = 1。若初始 P = 1：只要 k 为偶数即可，有可能；若初始 P = −1：则 (−1)ᵏ = −1，k 为奇数，也可能——但这只是乘积条件。
更深入的不变量：当圆周上共有偶数个数时，把相间位置编号 1,3,5… 与 2,4,6… 两组的乘积单独看，一次操作至多翻动其中一组的一个，两组乘积的比值在操作下不变。若这个初始比值与目标（=1）不同，则永远无法全变 +1。
结论：取决于初始不变量；存在永远做不到的初始排布
三道题的共同剧本：先认出题型关键词 → 抽对应的钥匙 → 把条件"翻译"成可操作的形式（倍数题翻译成 m·2ᵏ，不等式用 abc=1 化齐次，操作题找乘积不变量）。题型识别永远在计算之前。
① 一道题常要两三招接力。② 关键词比计算量重要。③ 卡住时退回去问："条件还能怎么翻译？"