似
相似三角形：放大缩小的图形
Similar Triangles · 形状一样大小不同
上章学函数，这章回到几何学相似三角形。为啥？照片放大、地图缩放、影子测量，都是"形状一样大小不同"。学完你就知道面积比是相似比的平方；下一章学锐角三角函数。
①
定义
三角相等比成比例
②
相似比k
边长都乘k
③
面积比
是 k² 不是 k
④
应用
测高测距
开场场景：你站在路灯下，身高 1.7 米，影子长 1 米；旁边一棵树影子长 5 米。树多高？两个直角三角形（人和影子、树和影子）形状一样——相似三角形，对应边成比例。
卡必背公式 / 记忆口诀
相似比 k：所有边长比=k
面积比=k²（别忘平方！）
位似对应点连线共点
口诀：相似比要记清，面积比要平方
义是什么：三个角对应相等，三边成比例
相似：两个三角形角对应相等，边对应成比例。记作 △ABC ∽ △DEF。相似比 k：对应边的比。面积比 = k²。
判定：①两角对应相等（AA）；②两边成比例且夹角相等；③三边成比例。
路怎么想到的：找等角，列比例
心法：看到测量高度/距离问题（树高、楼高、河宽），找两个相似直角三角形，列对应边比例。
完整解法：三道例题
例1：身高 1.7 米影长 1 米，树影长 5 米，树高？
用途与案例
测量：不用爬树测树高
你身高 1.5 米，影子长 2 米；同时树的影子长 10 米。因为太阳入射角相同，两个直角三角形相似：1.5/2 = 树高/10 → 树高 = 7.5 米。泰勒斯两千年前就用这招测金字塔高度。
美术：透视法的数学基础
文艺复兴画家布鲁内莱斯基发现：画平行线会汇聚到"消失点"。这就是相似三角形在二维画布上的投射。你眼睛到画面的距离就是相似比。
审题：相似三角形。
逐步：1.7/1 = 树高/5 → 树高 = 8.5 米。
例2：相似比 2:3，小三角形面积 4，大三角形面积？
审题：面积比 = 相似比平方。
逐步：面积比 = 4:9，小面积 4 → 大面积 = 9。
例3：△ABC 中 DE ∥ BC，AD=2, DB=4, DE=3，求 BC。
审题：平行线出相似。
逐步：AD/AB = 2/(2+4) = 1/3。DE/BC = 1/3 → BC = 3×3 = 9。
展往哪儿长
初中：相似三角形判定与性质。高中：三角函数本质就是相似三角形对应边的比。大学：相似矩阵、投影变换，计算机图形学缩放。
防坑警示
面积比写成相似比：面积比是 k²，不是 k。相似比 2:3，面积比是 4:9，不是 2:3。
练习
基础：相似比 1:2，小三角形边 5，大三角形对应边？
查看解答
5×2 = 10。做对了？很好，下一题/下一章走起。
错了或卡壳？回到本章「面积比是 k²」那一段，把例题再顺一遍。
错了或卡壳？回到本章「面积比是 k²」那一段，把例题再顺一遍。
进阶：相似比 1:3，小面积 6，大面积？
查看解答
面积比 1:9 → 大面积 = 6×9 = 54。做对了？很好，下一题/下一章走起。
错了或卡壳？回到本章「面积比是 k²」那一段，把例题再顺一遍。
错了或卡壳？回到本章「面积比是 k²」那一段，把例题再顺一遍。
证为什么"两角对应相等"两三角形就相似
相似判定三定理：①AA：两角对应相等 → 相似；②SSS：三边对应成比例 → 相似；③SAS：两边对应成比例且夹角相等 → 相似。性质：对应边成比例（比值 = 相似比），对应角相等，周长比 = 相似比，面积比 = 相似比的平方。
为什么 AA 就够了：三角形内角和 180°——两个角相等了，第三个角必然相等。三个角都相等，形状就一样了，只是大小不同。为什么面积比是平方：相似比 k 意味着底和高都放大 k 倍，面积 = ½×底×高 → 放大 k×k = k² 倍。
记
小结卡
① 相似 = 角相等、边成比例。
② 对应边比 = 相似比 k。
③ 面积比 = k²。
费曼学习法：讲给别人听
合上书本，假装对面坐着一个初一的小孩，把这三件事说清楚——说不清楚的地方，就是你没真懂。
- 用自己的话讲：本章核心是「定义 / 面积比」，合上书用自己的话讲一遍，不许照抄。
- 举个反例 / 什么时候最容易错："为什么面积比不是相似比 k，而是 k²？"边长乘 k，面积是长×宽，两个 k 相乘就是 k²。
- 哪里还卡壳（标记你的薄弱点）：哪一句你要翻书才说得顺？那个地方就是你的薄弱点，拿笔圈出来。