二次函数入门：抛物线的弧线
图像
开口向上/向下的碗
顶点
最值在顶点
配方
化成顶点式
判别式
碰不碰x轴
开场场景：你扔出去的篮球，走的是一条抛物线。这条弧线就是二次函数的图像。它有个最高点（或最低点），求最值、求零点、求对称轴——全是初中二次函数的活儿。
义是什么：一条抛物线
标准式：y = ax² + bx + c。顶点式：y = a(x−h)² + k，顶点 (h, k)。a 开口：a>0 开口向上（有最低点），a<0 开口向下（有最高点）。对称轴：x = −b/(2a)。
路怎么想到的：配方找顶点
心法：看到二次函数求最值，先配方成顶点式。y = x²−4x+3 = (x−2)²−1，顶点 (2, −1)，最小值 −1。零点：令 y=0 解一元二次方程。
完整解法：三道例题
用途与案例
电商：定价最大化利润
苹果进价 5 元/斤，卖 10 元时每天卖 100 斤。每降价 0.5 元，多卖 20 斤。设降价 x 次，利润 = (10−0.5x−5)(100+20x) = (5−0.5x)(100+20x) = −10x² + 50x + 500。这是开口向下的抛物线，顶点 x = 50/(2×10) = 2.5，即降价 1.25 元卖 8.75 元时利润最大。
物理：抛体运动
从地面以 v₀ 初速度向上抛，高度 h(t) = v₀t − ½gt²——这是开口向下的抛物线。最高点 t = v₀/g，h_max = v₀²/(2g)。为什么？因为重力加速度 g 是常数，位移是速度对时间的二次函数。
展往哪儿长
初中：二次函数图像与性质。高中：二次函数与一元二次不等式、导数求最值。大学：抛物线是圆锥曲线，物理抛体运动轨迹。
a 的符号决定开口：a>0 开口向上有最小值，a<0 开口向下有最大值。求最值先看 a 的正负，别一律说"最小值"。
练习
基础：y = x² − 6x + 5 的顶点？
查看解答
y=(x−3)²−4，顶点 (3, −4)。错了或卡壳？回到本章「a 的正负决定开口方向」那一段，把例题再顺一遍。
进阶：y = x² − 6x + 5 的零点？
查看解答
(x−1)(x−5)=0 → x=1 或 5。错了或卡壳？回到本章「a 的正负决定开口方向」那一段，把例题再顺一遍。
证二次函数的顶点公式怎么来的
推导（配方法）：y = ax² + bx + c = a(x² + bx/a + c/a) = a[(x + b/(2a))² + c/a − b²/(4a²)] = a(x + b/(2a))² + (4ac − b²)/(4a)。所以顶点 x = −b/(2a)，代入得 y = (4ac−b²)/(4a)。一句话：配方法是一切二次问题的万能钥匙。
① y=ax²+bx+c 画出来是抛物线。
② 配方找顶点，a 定开口方向。
③ 零点令 y=0，解一元二次方程。
- 用自己的话讲：本章核心是「图像 / 配方」，合上书用自己的话讲一遍，不许照抄。
- 举个反例 / 什么时候最容易错："a<0 时为什么说"最大值"不说"最小值"？"开口向下像倒扣的碗，顶点是最高点。
- 哪里还卡壳（标记你的薄弱点）：哪一句你要翻书才说得顺？那个地方就是你的薄弱点，拿笔圈出来。