相似三角形与锐角三角函数：放大缩小与边角比
开场场景：树太高爬不上去，怎么量它多高？在树旁立一根 1 米的杆子，量杆子影子 2 米、树影 18 米——相似三角形告诉你树高 9 米。这就是相似的力量。
义相似三角形：判定与性质
相似定义：三个角对应相等、三边对应成比例的三角形。相似比 k = 对应边的比。
判定：① AA：两角对应相等（最常用）；② SAS：两边成比例且夹角相等；③ SSS：三边对应成比例。
性质：对应边成比例=相似比 k；周长比=k；面积比=k²；对应高、对应中线、对应角平分线之比都=k。
位似：相似的特殊情形，对应顶点连线交于一点（位似中心）。位似变换下坐标比=位似比。
路锐角三角函数：边角比
定义（在直角三角形中，∠A 为锐角）：
正弦 sinA = 对边 / 斜边；余弦 cosA = 邻边 / 斜边；正切 tanA = 对边 / 邻边。
特殊角值（必背）：
| 角度 | sin | cos | tan | 记忆 |
|---|---|---|---|---|
| 30° | ½ | √3/2 | √3/3 | 对边=1,斜=2 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | 等腰直角 |
| 60° | √3/2 | ½ | √3 | 对边=√3,斜=2 |
式同角关系与解直角三角形
平方关系：sin²A + cos²A = 1（勾股定理两边除以 c²）。商数关系：tanA = sinA / cosA。
解直角三角形：已知两边（勾股定理+三角函数求角），或已知一边一角（三角函数求其余边）。
实际应用：仰角/俯角（视线与水平线夹角）；坡度 i=铅直高度/水平宽度=tan α（α 坡角）；方向角（北偏东多少度）。
完整解法：四道例题
展往哪儿长
初中：相似、锐角三角函数、解直角三角形。高中：任意角三角函数（sin/cos 扩展到 0°~360°）、正弦定理/余弦定理。大学：向量投影、傅里叶分析。
面积比记成相似比：面积比是 k²，不是 k！周长比才是 k。另外：sin/cos/tan 只在直角三角形里按"对边邻边斜边"定义，普通三角形先造直角。
练习
基础：sin30°+cos60°=？
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½+½=1。错了？背特殊角表。
进阶：相似比 1:4，小周长 12，大周长？大面积比小面积大几倍？
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大周长=12×4=48；面积比=1:16，大面积是小面积 16 倍（大 15 倍）。错了？回到相似性质。
奥数：坡角 α，坡度 i=1:2.5，求 tan α 与 α 近似值。
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tanα=1/2.5=0.4 ⇒ α≈21.8°。① 相似 AA/SAS/SSS；周长比=k，面积比=k²。
② sinA=对/斜，cosA=邻/斜，tanA=对/邻；sin²+cos²=1。
③ 特殊角 30/45/60 必背；仰角俯角坡度都靠 tan。
- 用自己的话讲：为什么面积比是 k²？
- 举反例：两个等腰三角形一定相似吗？不一定，顶角可以不同。
- 卡壳处：仰角测高公式怎么列的？