圆：系统整理——弦、弧、切线与扇形
元素
弦/弧/圆心角/圆周角
位置
点/直线/圆与圆
切线
判定与性质
计算
弧长/扇形/正多边形
开场场景：自行车轮子转一圈走多远？摩天轮上一个轿厢转 60° 扫过多大面积？这些都靠圆的公式。这一章把散学的圆知识一次理清楚。
义圆的核心元素与定理
圆的定义：到定点（圆心 O）距离等于定长（半径 r）的点的集合。弦：连接圆上两点的线段；直径：过圆心的弦，是最长的弦，长 2r。弧：圆上两点间的部分，分优弧/劣弧。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。反过来：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦。
圆心角定理：同弧（或等弧）所对的圆心角是圆周角的两倍。直径所对的圆周角是 90°（半圆上的圆周角是直角）。
路位置关系与切线
点与圆：点到圆心距离 d。d<r 在圆内，d=r 在圆上，d>r 在圆外。
直线与圆：圆心到直线距离 d。d<r 相交（两交点），d=r 相切（一个交点=切点），d>r 相离。
圆与圆：圆心距 d，半径 R≥r。外离 d>R+r；外切 d=R+r；相交 R−r<d<R+r；内切 d=R−r；内含 d<R−r。
切线：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线性质：切线垂直于过切点的半径。切线长定理：圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，这点和圆心的连线平分两切线夹角。
三角形的圆：外接圆过三顶点，圆心是三边中垂线交点（外心），半径 R；内切圆与三边都相切，圆心是三角平分线交点（内心），半径 r。
弧长、扇形与正多边形
式三个计算公式
① 弧长：n° 圆心角所对弧长 l = nπr/180（整圆 n=360 时 l=2πr）。
② 扇形面积：S = nπr²/360 = ½ l r（把扇形当成"曲边三角形"，½×底 l×高 r）。
③ 正多边形与圆：正 n 边形内接于半径 R 的圆，边长 aₙ=2R·sin(π/n)，边心距（中心到边的距离）rₙ=R·cos(π/n)，周长 n·aₙ，面积 ½·周长·边心距。
完整解法：四道例题
展往哪儿长
初中：圆的切线、弧长扇形。高中：圆的方程 (x−a)²+(y−b)²=r²，直线与圆位置关系用判别式或距离判断。大学：圆参数方程、极坐标、傅里叶级数。
圆周角和圆心角倍数搞反：同弧所对，圆心角=2×圆周角，不是反过来。另外：垂径定理别忘了"直径垂直于弦"才平分弦，随便一条弦的连线不行。
练习
基础：半径 10，90° 圆心角的弧长？
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l=90π·10/180=5π≈15.7。错了？回到弧长公式段。
进阶：扇形半径 12，弧长 4π，面积？
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S=½lr=½·4π·12=24π≈75.4。错了？回到扇形公式。
奥数：圆外一点 P 引切线 PA=6，割线 PBC 交圆于 B、C，PB=4，求 PC。
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切割线定理 PA²=PB·PC ⇒ 36=4·PC ⇒ PC=9。错了？回到切线长段。
① 同弧：圆心角=2×圆周角；直径对直角 90°；垂径定理垂直平分弦。
② 切线⊥过切点半径；圆外一点两切线长相等。
③ 弧长 l=nπr/180，扇形 S=nπr²/360=½lr。
- 用自己的话讲：圆周角为什么是圆心角一半？直径为什么对直角？
- 举反例：随便一条弦都被直径平分吗？只有垂直才行。
- 卡壳处：切割线定理怎么证？翻书再想。