视
投影与视图：从立体到平面的三视图
Projections & Orthographic Views
前两章学圆和相似，这章学怎么把立体东西画在纸上。为啥？机械图纸、建筑设计、3D 游戏建模都用三视图。学会从三个方向看一个物体，再把它画成平面。
开场场景：工程师画一个零件，不能画成透视图（量不了尺寸），得画成三张正投影图：从正面看、从左面看、从上面看。这就是三视图。
卡必背要点 / 记忆口诀
主/左/俯 三视图
长对正、高平齐、宽相等
正投影：光线垂直投影面
正方体 11 种展开图
口诀：长对正、高平齐、宽相等
义投影的种类
平行投影：太阳光线（平行）投下的影子。中心投影：灯泡（点光源）投下的影子，近大远小。正投影：平行光线且垂直于投影面——三视图用的就是正投影。
三视图：主视图（从前往后看）、左视图（从左往右看）、俯视图（从上往下看）。
三等规律：主俯长对正（长一样）；主左高平齐（高一样）；左俯宽相等（宽一样）。
路由视图还原立体、展开图
由三视图还原：先看俯视图定平面形状，再用主/左视图定高度，像"搭积木"一样把方块堆出来。
由立体画三视图：分别从三个方向正投影，看不见的棱画虚线。
展开图：正方体共有 11 种展开图（一四一型 6 种、二三一型 3 种、二二二型 1 种、三三型 1 种）。圆柱侧面展开是长方形（长=底面周长 2πr，高=h）；圆锥侧面展开是扇形（半径=母线 l，弧长=底面周长 2πr）。
例题
例1：圆柱侧面展开
审题：圆柱底面半径 3，高 5。
逐步：侧面展开长方形长=2π·3=6π，宽=5，面积=30π≈94.2。
例2：圆锥侧面展开圆心角
审题：圆锥底面 r=3，母线 l=6。
逐步：展开扇形弧长=底面周长=6π；扇形半径=母线=6。由 l扇=nπl/180 ⇒ 6π=nπ·6/180 ⇒ n=180°。
例3：三视图求小方块数
审题：俯视图 4 格（2×2），主视图最高 2 层，左视图最高 2 层。
逐步：底层 4 块；上层至少 1 块（在主左都看到高的位置）。最少 5 块，最多 8 块。
展往哪儿长
初中：三视图、展开图。高中：立体几何（点线面位置关系、体积表面积）。大学：工程制图、计算机图形学（正交投影 vs 透视投影）。
防坑警示
看不见的棱忘画虚线：三视图里被挡住的轮廓要画虚线，不是不画。另外：主俯长对正、主左高平齐、左俯宽相等——对齐错了图纸就废了。
练习
基础：正方体有几种展开图？
查看解答
11 种。做对了？很好。
错了？记住 11 种。
错了？记住 11 种。
进阶：圆柱 r=2，h=10，侧面积？
查看解答
侧=2πrh=2π·2·10=40π≈125.7。做对了？很好。
错了？回到展开图。
错了？回到展开图。
奥数：圆锥母线 10，侧面展开是半圆，求底面半径。
查看解答
半圆半径=母线=10，弧长=π·10=10π=底面周长=2πr ⇒ r=5。
记
小结卡
① 三视图：主视/左视/俯视；长对正、高平齐、宽相等。
② 看不见的棱画虚线；由三视图像搭积木一样还原立体。
③ 正方体 11 种展开图；圆柱侧面=长方形，圆锥侧面=扇形。
费曼学习法：讲给别人听
拿一个橡皮，从正面、左面、上面各看一眼，说出看到的形状。
- 用自己的话讲：三视图为什么要"长对正高平齐"？
- 举反例：中心投影下，靠近灯泡的物体影子比远处大，为什么正投影没有这个问题？
- 卡壳处：圆锥侧面展开扇形圆心角怎么算？