反
反比例函数：越走越远、越跑越快
Inverse Proportion · y = k/x
上章学二次方程，这章学反比例函数 y=k/x。为啥？小学"速度快用时短"那条反比例，现在升级成函数和双曲线图像。学完你就懂为什么它的图像不碰坐标轴；下一章学二次函数入门。
①
定义
xy=k 定值
②
图像
双曲线两支
③
性质
越走越远不碰轴
④
k正负
在哪几个象限
开场场景：路程固定 240 km，车速 60 要 4 小时，80 要 3 小时，120 要 2 小时。速度越快时间越短，但永远不到 0。这就是 y = k/x 的图像——两条永不碰到坐标轴的曲线。
卡必背公式 / 记忆口诀
xy=k 是反比核心
k>0 在一、三象限
各自单调不跨象限
口诀：反比函数双曲线，各象限里单调变
义是什么：xy = k
定义：y = k/x（k≠0），即 x·y = k。图像：双曲线。k>0 在一三象限，k<0 在二四象限。性质：x 越大 y 越小，但永远不碰到坐标轴（渐近线）。
路怎么想到的：看到"积固定"就想反比例
心法：两个量相乘是常数 → 反比例。路程固定时 v·t=s；面积固定时长×宽=S。和正比例对比：正比 y=kx 一条直线过原点；反比 y=k/x 两条双曲线。
完整解法：三道例题
例1：y = 12/x，当 x = 3 时 y = ？
用途与案例
金融：利率与本金
I = P × r × t。利息 I 固定时，利率 r 和时间 t 成反比——要赚同样多的利息，利率高的存短点，利率低的存长点。
物理：波义耳定律
温度不变时，气体压强 P 和体积 V 成反比：PV = 常数。自行车打气——越压空气体积越小，压强越大。
审题：代入。
逐步：y = 12/3 = 4。
例2：过点 (2, 6) 的反比例函数解析式？
审题：求 k。
逐步：k = x·y = 12 → $y = \frac{12}{x}$。
例3：y=6/x 上一点到两坐标轴垂线围成的矩形面积？
审题：矩形面积 = |x|·|y| = |k|。
逐步：面积 = 6。这是反比例函数的几何性质。
展往哪儿长
初中：反比例函数图像。高中：双曲线是圆锥曲线之一，和椭圆抛物线并列。大学：有理函数、渐近线分析、极限。
防坑警示
以为 x 能等于 0：y=k/x 中 x≠0，图像永不碰 y 轴。另外 k 的符号决定象限，别搞反。
练习
基础：y=20/x，x=5 时 y=？
查看解答
y = 20/5 = 4。做对了？很好，下一题/下一章走起。
错了或卡壳？回到本章「反比例是 x·y 定值不是 y/x」那一段，把例题再顺一遍。
错了或卡壳？回到本章「反比例是 x·y 定值不是 y/x」那一段，把例题再顺一遍。
进阶：过 (3,4) 的反比例函数？
查看解答
k=12，y=12/x。做对了？很好，下一题/下一章走起。
错了或卡壳？回到本章「反比例是 x·y 定值不是 y/x」那一段，把例题再顺一遍。
错了或卡壳？回到本章「反比例是 x·y 定值不是 y/x」那一段，把例题再顺一遍。
证为什么 y = k/x 的图像是双曲线
定义：y = k/x（k ≠ 0，x ≠ 0）叫反比例函数。k > 0 时图像在第一、三象限；k < 0 时在第二、四象限。性质：xy = k 为定值——曲线上任意一点横纵坐标的乘积永远等于 k。
为什么是双曲线：①取 x = 1 → y = k，得点 (1, k)；②取 x = 2 → y = k/2；③取 x = ½ → y = 2k……④x 越接近 0，y 越接近 ±∞；x 越接近 ±∞，y 越接近 0。图像永远靠近 x 轴和 y 轴但永远不碰到（渐近线）。
记
小结卡
① xy=k，双曲线，不碰坐标轴。
② k>0 在一三象限，k<0 在二四。
③ 图像上点到轴的矩形面积 = |k|。
费曼学习法：讲给别人听
合上书本，假装对面坐着一个初一的小孩，把这三件事说清楚——说不清楚的地方，就是你没真懂。
- 用自己的话讲：本章核心是「定义 / 性质」，合上书用自己的话讲一遍，不许照抄。
- 举个反例 / 什么时候最容易错："为什么反比例的图像永远不碰 x 轴 y 轴？"x 或 y 为 0 就意味着 k=0 或除 0，非法。
- 哪里还卡壳（标记你的薄弱点）：哪一句你要翻书才说得顺？那个地方就是你的薄弱点，拿笔圈出来。