一元二次方程：未知数最高平方
标准形
ax²+bx+c=0
判别式
Δ=b²−4ac
求根公式
套公式前先算Δ
验根
负根按题意舍去
开场场景：抛一个球，它离地高度 h 与时间 t 的关系是 h = −5t² + 10t。什么时候落地？令 h=0，−5t²+10t=0，解出 t=0 或 t=2。两秒后落地。这种带 x² 的方程就是一元二次方程。
义是什么：三种解法
①因式分解法：能分解就分解。x²−5x+6=0 → (x−2)(x−3)=0 → x=2 或 3。②配方法：凑成完全平方。x²+6x+5=0 → (x+3)²=4 → x+3=±2 → x=−1 或 −5。③公式法：x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a)。
判别式 Δ = b²−4ac：Δ>0 两不等实根；Δ=0 两相等实根；Δ<0 无实根。
路怎么想到的：先看能不能分解
心法：先试因式分解（快），不行再配方，最后万能公式法。应用题：设未知数 → 列方程 → 解 → 检验根是否符合实际（长度不能负、时间不能负）。
完整解法：三道例题
④ 用途与案例
电商：定价与利润
利润 = (定价−成本)×销量，销量随定价变化。设 x = 定价，则销量 = a−bx，利润 = (x−c)(a−bx) = −bx² + (a+bc)x − ac。这就是一元二次方程，顶点就是最大利润。
物理：弹道
从地面以 v 斜抛，高度 y = vt·sinθ − ½gt²——落地时 y=0，解这个方程就能算出飞行时间和水平射程。
展往哪儿长
初中：一元二次方程。高中：二次函数零点、韦达定理（根与系数关系 x₁+x₂=−b/a，x₁x₂=c/a）。大学：求根公式的推导、代数基本定理（n 次方程有 n 个根）。
证教材级补充：求根公式怎么推出来的
推导：①两边除以 a：x² + (b/a)x + c/a = 0。②配方：x² + (b/a)x = −c/a。③两边加 (b/2a)²：x²+(b/a)x+(b/2a)² = (b/2a)² − c/a。④左边 = (x + b/2a)²，右边 = (b²−4ac)/(4a²)。⑤开平方：x + b/2a = ±√(b²−4ac)/(2a)。⑥移项得 x = (−b ± √(b²−4ac))/(2a)。
应用题解出负根不检验就答：长度、时间、人数不能负。x²−2x−24=0 解出 x=6 或 x=−4，负根要舍去。另外 Δ<0 时别说"无解"，要说"无实数根"（高中会学复数根）。
练习
基础：解 x² − 7x + 10 = 0。
查看解答
(x−2)(x−5)=0 → x=2 或 5。错了或卡壳？回到本章「先算 Δ 再套求根公式」那一段，把例题再顺一遍。
进阶：解 2x² − 3x − 2 = 0。
查看解答
Δ=9+16=25，x=(3±5)/4 → x=2 或 −1/2。错了或卡壳？回到本章「先算 Δ 再套求根公式」那一段，把例题再顺一遍。
① 先试因式分解，不行再配方或公式法。
② Δ=b²−4ac 决定根的个数。
③ 应用题负根要舍去。
- 用自己的话讲：本章核心是「标准形 / 求根公式」，合上书用自己的话讲一遍，不许照抄。
- 举个反例 / 什么时候最容易错："为什么不先套求根公式？"Δ<0 时根号里是负的，根本没实根，套了白套。
- 哪里还卡壳（标记你的薄弱点）：哪一句你要翻书才说得顺？那个地方就是你的薄弱点，拿笔圈出来。