大学物理 · 狭义相对论：时空的相对性

相

狭义相对论：时间膨胀、长度收缩与质能方程

Special Relativity · $E=mc^2$

麦克斯韦方程组说光速不变，这和牛顿的"绝对时空"矛盾。爱因斯坦说：光速对所有惯性系都一样，于是时间和空间都要变。

①

光速不变

$c$ 对所有惯性系相同

②

洛伦兹变换

$\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}$

③

时间膨胀

$\Delta t=\gamma\Delta\tau$

④

质能

$E=mc^2$

开场场景：你在飞机上打开手电，地面上的人测这束光的速度是多少？牛顿说 $c+v_{\text{机}}$，实验说还是 $c$。光速不变是实验事实，由此推出时间会膨胀、长度会收缩。

卡必背公式 / 记忆口诀

洛伦兹因子：$\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$，$\beta=v/c$

时间膨胀：$\Delta t=\gamma\,\Delta\tau$（固有时 $\Delta au$ 最短）

长度收缩：$L=L_0/\gamma$（固有长度 $L_0$ 最长）

质能方程：$E=\gamma mc^2$，静能 $E_0=mc^2$，动量 $p=\gamma mv$

口诀：光速不变是公理；运动的钟变慢、运动的尺变短；质量即能量。

义是什么：时空是相对的

两条公理：①物理定律在所有惯性系相同；②真空中光速 $c$ 对所有惯性系相同，与光源运动无关。

时间膨胀：运动参考系中的钟走得慢。固有时 $\Delta au$（同一地点两事件时间间隔）最短，$\Delta t=\gamma\Delta au$。长度收缩：运动方向上长度缩短，$L=L_0/\gamma$。

质能关系：$E=\gamma mc^2$，静能 $E_0=mc^2$。动能 $K=(\gamma-1)mc^2$。能量动量关系 $E^2=(pc)^2+(mc^2)^2$。

路怎么想到的：光速不变推出一切

关键实验：迈克尔逊-莫雷实验没测到"以太风"，光速在各个方向都一样。

双生子佯谬：哥哥乘近光速飞船旅行，回来比弟弟年轻——因为哥哥经历了加速，不是惯性系，不对称。

例题：三道典型题

例1：飞船 $v=0.6c$，$\gamma$？

$\gamma=1/\sqrt{1-0.36}=1/0.8=\mathbf{1.25}$。

地面上过 1 小时，飞船上钟走 $1/1.25=0.8$ 小时。

例2：飞船固有长度 100 m，地面看多长？（$v=0.6c$）

$L=L_0/\gamma$。

$L=100/1.25=\mathbf{80\ m}$。

例3：$m=1$ kg 物质全部转化为能量？

$E=mc^2$。

$E=1\cdot(3\times10^8)^2=\mathbf{9\times10^{16}\ J}$，约 2 万吨 TNT。

用途与案例

GPS卫星

卫星高速运动且引力不同，必须同时修正狭义+广义相对论，否则定位每天偏差 10 km。

核电站

核反应质量亏损 $\Delta m$ 释放 $\Delta E=\Delta m c^2$，就是原子弹和核电的原理。

展往哪儿长

高中：相对论初步（定性）。大学：洛伦兹变换推导、四维时空（闵可夫斯基）、相对论动力学。前沿：广义相对论（引力=时空弯曲）、黑洞、宇宙学。

速度变换：$u'=(u-v)/(1-uv/c^2)$，保证叠加后仍 $\le c$。

防坑警示

时间膨胀是相互的：你看我慢，我看你也慢——因为都是惯性系，没有绝对。长度收缩只在运动方向：垂直方向不变。$v\ge c$ 不可能：$\gamma$ 变虚数，因果律被破坏。