大学物理 · 振动与波/波动光学：干涉、衍射、偏振

波

振动与波/波动光学：干涉、衍射、偏振

Waves & Wave Optics · $d\sin\theta=m\lambda$

上一章说光是电磁波；这一章研究光的波动性——干涉、衍射、偏振。同时从弹簧振子开始，建立整个"波"的语言。

①

简谐运动

$x=A\cos(\omega t+\varphi)$

②

波动方程

$\partial^2 y/\partial t^2=v^2\partial^2 y/\partial x^2$

③

干涉衍射

双缝 $d\sin\theta=m\lambda$

④

偏振

横波特有的性质

开场场景：雨滴落在平静水面，波纹一圈圈扩散；两列波纹相遇，有的地方高有的地方低——这就是干涉。光也这样，双缝后面明暗相间。

卡必背公式 / 记忆口诀

简谐运动：$x=A\cos(\omega t+\varphi)$，$\omega=\sqrt{k/m}$，周期 $T=2\pi/\omega$

波方程：$\dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2}=v^2\dfrac{\partial^2 y}{\partial x^2}$，波速 $v=\lambda f$

双缝干涉：$d\sin\theta=m\lambda$（亮纹）；单缝衍射暗纹 $a\sin\theta=m\lambda$

马吕斯定律：$I=I_0\cos^2\theta$（偏振片）

口诀：干涉看路程差，衍射看孔缝大小；偏振证明光是横波。

义是什么：振动在空间传播就是波

简谐运动：弹簧振子 $m\ddot x=-kx$，解 $x=A\cos(\omega t+arphi)$。单摆小角度 $\omega=\sqrt{g/l}$。

波动方程：振动沿空间传播满足 $\partial^2 y/\partial t^2=v^2\partial^2 y/\partial x^2$，解是行波 $y=A\cos(kx-\omega t)$，波速 $v=\omega/k=\lambda f$。

干涉：两列相干波相遇，路程差 $\Delta r=m\lambda$ 相长（亮），$\Delta r=(m+1/2)\lambda$ 相消（暗）。衍射：波绕过障碍物，单缝暗纹 $a\sin heta=m\lambda$。

路怎么想到的：看相位差

核心：两列波在某点的相位差决定加强还是抵消。相位差 $2\pi$ 整数倍→加强；$\pi$ 奇数倍→抵消。

偏振：横波才有偏振（振动方向），纵波没有。光通过偏振片后只剩一个方向的振动，强度按马吕斯定律衰减。

例题：三道典型题

例1：弹簧 $k=200$ N/m 挂 $m=0.5$ kg，周期？

$\omega=\sqrt{k/m}$，$T=2\pi/\omega$。

$\omega=\sqrt{400}=20$ rad/s，$T=2\pi/20\approx\mathbf{0.314\ s}$。

例2：双缝 $d=0.2$ mm，用 $\lambda=600$ nm 光照射，第一级亮纹角度？

$d\sin\theta=m\lambda$，$m=1$。

$\sin\theta=6\times10^{-7}/(2\times10^{-4})=3\times10^{-3}$，$\theta\approx\mathbf{0.17^\circ}$。

例3：光强 $I_0$ 通过两个夹角 $45^\circ$ 的偏振片，出射强度？

$I=I_0\cos^2\theta$。

第一片后 $I_0/2$，第二片后 $I=\frac{I_0}{2}\cos^2 45^\circ=\frac{I_0}{2}\cdot\frac12=\mathbf{I_0/4}$。

用途与案例

眼镜：偏振太阳镜

挡掉路面/水面反射的偏振光，眩光大减。

CD/光栅

光盘上细密刻痕就是反射光栅，把白光色散成彩虹。

展往哪儿长

高中：弹簧振子、波的传播定性。大学：驻波、多普勒效应、傅里叶分析。前沿：激光（相干光）、全息摄影、引力波探测（LIGO 本质是迈克尔逊干涉仪）。

驻波：两列反向同幅波叠加，节点不动，乐器弦乐/管乐都是驻波原理。

防坑警示

干涉≠衍射：干涉是有限束光叠加，衍射是波绕过障碍物；实际双缝是两者都有。单缝公式别用反：单缝 $a\sin heta=m\lambda$ 是暗纹条件（和双缝亮纹条件形式像但意义相反）。偏振片不"吸收光"：它只选一个振动方向。