大学物理 · 量子物理基础：波粒二象性与薛定谔方程

量

量子物理基础：波粒二象性与薛定谔方程

Quantum Mechanics · $\hat H\psi=E\psi$

相对论管"高速"，量子力学管"微观"。在原子尺度，粒子既是波又是粒子，物理量不连续——这是 20 世纪物理学的革命。

①

德布罗意波

$\lambda=h/p$

②

不确定关系

$\Delta x\Delta p\ge\hbar/2$

③

薛定谔方程

$\hat H\psi=E\psi$

④

氢原子能级

$E_n=-13.6/n^2$ eV

开场场景：光到底是波还是粒子？杨氏双缝说它是波，光电效应说它是粒子。德布罗意说：不只是光，电子也一样——一切物体都有波粒二象性。

卡必背公式 / 记忆口诀

德布罗意波长：$\lambda=h/p$，$h=6.626\times10^{-34}$ J·s，$\hbar=h/2\pi$

海森堡不确定关系：$\Delta x\,\Delta p_x\ge\hbar/2$

薛定谔方程（定态）：$\hat H\psi=E\psi$，$\hat H=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V$

氢原子能级：$E_n=-\dfrac{13.6\ \text{eV}}{n^2}$，$n=1,2,3\cdots$

口诀：一切物质都有波粒二象性；位置动量不能同时测准；能级是量子化的。

义是什么：微观世界的概率论

波粒二象性：光子 $E=h u$，$p=h/\lambda$。德布罗意推广到所有粒子：$\lambda=h/p$。电子在晶体上衍射就是电子波动性的证据。

不确定关系：$\Delta x\Delta p\ge\hbar/2$——不是仪器不够准，是自然本质上就不允许同时拥有确定的位置和动量。

薛定谔方程：波函数 $\psi$ 描述粒子状态，$|\psi|^2$ 是概率密度。定态方程 $\hat H\psi=E\psi$ 的解给出分立能级——这就是原子光谱是线状的原因。

路怎么想到的：从黑体辐射到原子

历史线：普朗克量子化（黑体辐射）→爱因斯坦光子（光电效应）→玻尔原子→德布罗意波→薛定谔方程。

氢原子：解薛定谔方程得 $E_n=-13.6/n^2$ eV，电子只能在这些能级上，跃迁吸收/发射特定频率光子。

例题：三道典型题

例1：电子以 $v=10^6$ m/s 运动，德布罗意波长？

$\lambda=h/(mv)$，$m_e=9.1\times10^{-31}$ kg。

$\lambda=6.63\times10^{-34}/(9.1\times10^{-31}\cdot10^6)\approx\mathbf{7.3\times10^{-10}\ m}=0.73\ nm$。

例2：电子在 $\Delta x=0.1$ nm 内，动量不确定度至少？

$\Delta p\ge\hbar/(2\Delta x)$。

$\Delta p\ge1.05\times10^{-34}/(2\cdot10^{-10})\approx\mathbf{5.3\times10^{-25}\ kg\cdot m/s}$。

例3：氢原子从 $n=2$ 跃迁到 $n=1$，发射光子能量？

$\Delta E=13.6(1-1/4)=10.2$ eV。

对应波长 $\lambda=hc/\Delta E\approx\mathbf{121.6\ nm}$（紫外）。

用途与案例

芯片：扫描隧道显微镜

利用电子波动性（量子隧穿）探测原子表面分辨率。

LED/激光

电子在半导体能级间跃迁发光，本质是量子能级工程。

展往哪儿长

高中：光电效应、玻尔模型。大学：算符、对易关系、自旋、全同粒子、薛定谔方程精确解（势阱/谐振子/氢原子）。前沿：量子场论、量子计算、量子信息。

量子隧穿：粒子有一定概率穿过经典力学"过不去"的势垒——α衰变、STM、Flash 存储都靠它。

防坑警示

波函数不是真实波：$|\psi|^2$ 是概率密度，不是电荷密度。不确定关系不是测量误差：是自然内禀属性。能级量子化：不是"电子在轨道上转"，是波函数驻波条件决定分立能量。