大学物理 · 恒定电流与电路：基尔霍夫与暂态

路

恒定电流与电路：基尔霍夫与暂态

DC Circuits · Kirchhoff's Rules

上一章讲静止电荷；这一章电荷动起来形成电流。稳恒电路有两大定律（节点+回路），加上电容/电感的暂态过程——这是所有电路分析的基础。

①

电流密度

$\vec J=\sigma\vec E$

②

基尔霍夫

节点ΣI=0，回路ΣU=0

③

RC暂态

$RC$ 时间常数

④

交流阻抗

$Z=R+i(\omega L-1/\omega C)$

开场场景：手机充电时电流越来越小——不是手机"吃饱了"，是电容（电池等效）两端电压逐渐追上电源电压，电势差变小，电流自然变小。这就是 RC 暂态。

卡必背公式 / 记忆口诀

欧姆定律微观：$\vec J=\sigma\vec E$；宏观 $U=IR$

基尔霍夫电流定律（KCL）：节点处 $\sum I_{\text{入}}=\sum I_{\text{出}}$

基尔霍夫电压定律（KVL）：沿闭合回路 $\sum U=0$

RC 充电：$q(t)=C\mathcal E(1-e^{-t/RC})$，$I(t)=\frac{\mathcal E}{R}e^{-t/RC}$，时间常数 $\tau=RC$

口诀：节点看电荷不堆积，回路看电势升降和为零；暂态看 $e^{-t/\tau}$。

义是什么：电荷流动的守恒

电流 $I$：单位时间流过截面的电量 $I=dq/dt$，单位安培 A。微观上 $ec J=\sigmaec E$，导体中自由电子在电场下漂移。

KCL（节点）：电荷不能在节点堆积，流入=流出。KVL（回路）：电场是保守场，绕一圈电势升降总和为零。这两条是电路分析的全部根基。

RC 暂态：电容电压不能突变，充电时 $q$ 按指数趋近饱和，时间常数 $ au=RC$。RL 电路电流不能突变，时间常数 $ au=L/R$。

路怎么想到的：标支路列方程

步骤：①标定各支路电流方向；②对独立节点列 KCL；③对独立回路列 KVL；④解线性方程组。

交流电路：用复阻抗 $Z$，电阻 $R$、电感 $i\omega L$、电容 $1/(i\omega C)$，直流公式里把 $R$ 换成 $Z$ 即可。

例题：三道典型题

例1：两个电阻 $R_1=6\ \Omega$、$R_2=3\ \Omega$ 并联，接 $U=12$ V，总电流？

$R_\text{并}=R_1R_2/(R_1+R_2)=2\ \Omega$。

$I=U/R=12/2=\mathbf{6\ A}$。

例2：$R=1000\ \Omega$，$C=100\ \mu F$，接 $\mathcal E=10$ V 充电，时间常数？$t=\tau$ 时电容电压？

$\tau=RC$。

$\tau=1000\cdot100\times10^{-6}=\mathbf{0.1\ s}$；$U_C=\mathcal E(1-e^{-1})=10\cdot0.632=\mathbf{6.32\ V}$。

例3：节点有三条支路，$I_1=2$ A 流入，$I_2=5$ A 流出，第三条支路电流？

KCL：流入=流出。

$2=5+I_3\Rightarrow I_3=-3$ A，即第三条支路流入 3 A（负号表示假设方向反了）。

用途与案例

电子：滤波电路

RC 低通滤波器让直流通过、滤掉交流纹波——手机电源板到处都是。

心电监护仪

微弱生物电信号经运放放大，本质也是基尔霍夫方程在模拟电路上的应用。

展往哪儿长

高中：串并联欧姆定律。大学：戴维南/诺顿等效、RLC 振荡、交流相量法。前沿：半导体器件（PN结、MOSFET）把电路推向非线性。

戴维南定理：任何线性含源二端网络可等效为一个电压源串一个电阻——复杂电路瞬间简化。

防坑警示

KCL/KVL 符号：绕行方向与电流同向电阻压降为正；电源从负到正为升。电容电压不能突变：$U_C(0+)=U_C(0-)$，电感电流不能突变。交流阻抗是复数：相位不能忘，纯算大小会错。