大学物理 · 磁场：毕奥-萨伐尔、安培力与洛伦兹力

磁

磁场：毕奥-萨伐尔、安培力与洛伦兹力

Magnetic Field · $\vec F=q\vec v\times\vec B$

静止电荷产生电场；运动电荷（电流）产生磁场。磁场对运动电荷有力 $qec v imesec B$，对电流有力 $I dec l imesec B$——这是电动机、显像管、回旋加速器的原理。

①

毕-萨定律

$dB=\mu_0 I dl\times\hat r/4\pi r^2$

②

安培力

$dF=I\,dl\times B$

③

洛伦兹力

$F=qv\times B$

④

磁介质

$B=\mu_0\mu_r H$

开场场景：条形磁铁吸铁钉、指南针指北——这些"磁力"本质都是运动电荷之间的相互作用。地球本身是个大磁铁，磁感线从南磁极出来绕到北磁极进去。

卡必背公式 / 记忆口诀

毕奥-萨伐尔定律：$d\vec B=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\,d\vec l\times\hat r}{r^2}$

长直导线磁场：$B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$；螺线管内部 $B=\mu_0 n I$

安培力：$d\vec F=I\,d\vec l\times\vec B$；平行载流导线 $F/L=\mu_0 I_1I_2/(2\pi d)$

洛伦兹力：$\vec F=q\,\vec v\times\vec B$，不做功（始终垂直速度）

口诀：右手定则定磁场方向，左手定则定安培力方向；洛伦兹力永远垂直速度，不做功。

义是什么：运动电荷产生并感受磁场

磁场 $ec B$：描述磁相互作用的矢量场，单位特斯拉 T。电流元 $I dec l$ 产生磁场由毕奥-萨伐尔定律给出，方向由右手螺旋定则确定。

安培力：载流导线在磁场中受力 $dec F=I dec l imesec B$。两条平行同向电流相互吸引——这是电动机的基本原理。

洛伦兹力：运动电荷在磁场中受力 $ec F=qec v imesec B$。力永远垂直于 $ec v$，所以不做功，只改变方向不改变速率——带电粒子在匀强磁场中做圆周运动，$r=mv/(qB)$。

路怎么想到的：叉乘判断方向

方向全靠右手：四指从 $dec l$ 弯向 $\hat r$，拇指是 $ec B$；四指从 $ec v$ 弯向 $ec B$，拇指是洛伦兹力方向。

粒子运动：垂直磁场入射→圆周，半径 $r=mv/qB$，周期 $T=2\pi m/qB$（与速度无关！这就是回旋加速器原理）；有平行分量→螺旋线。

例题：三道典型题

例1：长直导线 $I=10$ A，距 $r=0.02$ m 处 $B$？

$B=\mu_0 I/(2\pi r)$，$\mu_0=4\pi\times10^{-7}$。

$B=2\times10^{-7}\cdot10/0.02=\mathbf{10^{-4}\ T}$。

例2：电子（$q=e$，$m=9.1\times10^{-31}$ kg）以 $v=10^6$ m/s 垂直射入 $B=0.01$ T 磁场，轨道半径？

$r=mv/(qB)$。

$r=9.1\times10^{-31}\cdot10^6/(1.6\times10^{-19}\cdot0.01)=\mathbf{5.7\times10^{-4}\ m}$。

例3：匀强 $B=0.5$ T 中，长 $L=0.2$ m 导线通 $I=5$ A 且垂直于 $B$，安培力？

$F=ILB$。

$F=5\cdot0.2\cdot0.5=\mathbf{0.5\ N}$。

用途与案例

电机：电风扇

通电线圈在磁场中受安培力转动，把电能变机械能。

医疗：MRI核磁共振

强磁场让人体内氢原子核自旋取向，射频脉冲激发后成像。

展往哪儿长

高中：安培力、洛伦兹力定性。大学：磁介质（$\mu_r>1$ 顺磁、$<1$ 抗磁、$\gg1$ 铁磁）、霍耳效应。前沿：磁约束核聚变、磁悬浮列车。

霍耳效应：载流导体垂直放磁场，横向出现电压 $V_H=IB/(nqd)$，可测载流子浓度和正负。

防坑警示

洛伦兹力不做功：别用它算动能变化。方向别用错手：正电荷用左手（或右手叉乘），负电荷方向相反。$ec B$ 是磁场本身：别把外磁场和感应磁场混。