高中物理 · 万有引力与航天：苹果与月亮

宇

万有引力与航天：苹果与月亮

Gravitation & Space · $F=G\dfrac{m_1m_2}{r^2}$

上一章圆周运动需要向心力；这一章发现天上的力和地上的力是同一个——万有引力。卫星、宇宙速度都从这条定律长出来。

①

行星椭圆运动三定律

②

$F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$

③

引力=向心力

④

7.9/11.2/16.7 km/s

开场场景：苹果落地和月亮绕地球转，是同一种力在拉。牛顿说：万物相互吸引，大小与距离平方成反比。

卡必背公式 / 记忆口诀

万有引力：$F=G\dfrac{m_1m_2}{r^2}$，$G=6.67\times10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$

卫星：$G\dfrac{Mm}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}=m\omega^2 r=m\dfrac{4\pi^2}{T^2}r$

黄金代换：$GM=gR^2$（地面附近）

第一宇宙速度 7.9 km/s；第二 11.2；第三 16.7

口诀：口诀：天上一圈由引力提供向心力；越高越慢、周期越长

开普勒三定律：①行星绕太阳走椭圆，太阳在焦点；②相等时间扫过相等面积；③$a^3/T^2=k$ 对所有行星相同。

万有引力定律：任意两质点间 $F=Gm_1m_2/r^2$，沿连线。地面上重力近似等于万有引力 $mg\approx GMm/R^2$，得 $GM=gR^2$。

卫星问题核心：万有引力 = 向心力，即 $GMm/r^2=mv^2/r$。解出 $v=\sqrt{GM/r}$、$T=2\pi\sqrt{r^3/GM}$。轨道越高，$v$ 越小、$T$ 越长。

三种宇宙速度：7.9 km/s 是绕地球做圆周的最小发射速度（最大环绕速度）；11.2 脱离地球；16.7 脱离太阳系。

例1：两质点 1 kg，相距 1 m，引力？

$F=Gm_1m_2/r^2$。

$F=6.67\times10^{-11}\times1=\mathbf{6.67\times10^{-11}\ N}$（极小）。

例2：近地卫星速度？($g=9.8,R=6.4\times10^6$ m)

$v=\sqrt{gR}$。

$v=\sqrt{9.8\times6.4\times10^6}\approx\mathbf{7.9\ km/s}$。

例3：同步卫星周期 24 h，它的角速度与地球自转？

审题：同步即相对地面静止。

周期相同，故 $\omega$ 与地球自转角速度相同，相对地面静止，定点赤道上空。

同步卫星定点赤道 36000 km 高空，相对地面静止；多颗组网覆盖全球。

同一物体在高山上 $g$ 略小，称重略轻；月球上 $g_月\approx g_地/6$。

初中：重力。高中：万有引力定律、卫星、宇宙速度、变轨问题。现代：牛顿引力在强场失效，由广义相对论描述（水星进动、黑洞）。

防坑警示

轨道越高环绕速度越小，别以为’高就快’；但发射到高轨道需要的发射速度更大。同步卫星周期必须 24 h、定点赤道。$r$ 是到地心距离，不是到地面高度。