几何基础：相交线、平行线与坐标系
相交
对顶角相等
平行
同位角相等
坐标系
横坐标纵
象限
四个区看正负
开场场景：两条马路十字相交，相对的两个路口（对顶角）永远一样大；两条平行的铁轨永远不会碰头。这一章先把"线与线的夹角"这门语言学会，再学会用一对数 (x,y) 在地图上定位一个点。
义是什么：三线八角与平面定位
相交线：两条直线相交，形成四个角，对顶角相等（对面的两个角一样大），相邻两个角加起来 180°。平行线：两条平行线被第三条线（截线）所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补（加起来 180°）。反过来，只要这些角的关系成立，就能判定两条线平行。
平面直角坐标系：画一条水平的 x 轴和一条竖直的 y 轴，交点叫原点 O。平面上任一点用一对数 (x, y) 表示——x 是左右位置（横坐标），y 是上下位置（纵坐标）。两轴把平面分成四个象限：右上第一象限(+,+)，左上第二(−,+)，左下第三(−,−)，右下第四(+,−)。
路怎么想到的：见截线就找"三线八角"
心法：题目里出现"两条线 + 一条截线"，立刻在脑子里把八个角标出来。同位角像"F"、内错角像"Z"、同旁内角像"U"——认出字母形状就知道用哪个结论。证平行：由角相等推出线平行；用平行：由线平行推出角相等。
坐标系定位：点 (3, −2) 就是向右 3 格、向下 2 格，落在第四象限。关于 x 轴对称：纵坐标变号；关于 y 轴对称：横坐标变号；关于原点对称：两个都变号。
完整解法：三道例题
④ 用途与案例
GPS 定位
地球表面经纬度本质是球面上的坐标——两条经线之间用"平行"吗？不，经线在两极相交！所以要用球面几何，不是平面几何。
绘画：透视法
两条铁轨在画面上会"汇聚"到消失点——这不是平行，而是透视。数学上就是平面上画一个平面的投射（射影几何雏形）。
同位角、内错角必须在"两线平行"的前提下才相等：如果两条线根本不平行，这些角没有任何关系。判断方向别反：x 轴向右为正，y 轴向上为正；横坐标在前、纵坐标在后，别写成 (y, x)。坐标轴上的点不算任何象限——在轴上就是在"边界"上。
练习
基础：点 (2, −5) 在第几象限？
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x 正、y 负 → 第四象限。错了或卡壳？回到本章「象限看正负」那一段，把例题再顺一遍。
进阶：平行线被截，一个同旁内角 130°，另一个同旁内角多少？
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同旁内角互补，180−130 = 50°。错了或卡壳？回到本章「同旁内角互补」那一段，把例题再顺一遍。
奥数：点 A(−2, 3) 关于 x 轴的对称点 A′ 是？
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关于 x 轴对称只变 y 号：A′ = (−2, −3)。错了或卡壳？回到本章「关于x轴对称纵变号」那一段，把例题再顺一遍。
证平行公理：为什么"过直线外一点有且只有一条直线与之平行"
为什么不能证明：欧几里得自己也觉得这条公设太"不像公理"，花了 2000 年试图证明它都失败了。直到 19 世纪，罗巴切夫斯基和黎曼发现：如果你改了这条公理，整个几何体系依然自洽——这就是非欧几何，爱因斯坦的广义相对论用的就是它。
① 对顶角相等；平行线同位角、内错角相等，同旁内角互补。
② 点 (x,y)：左右 x、上下 y，象限看正负号。
③ 对称变换：关于 x 轴变 y 号，关于 y 轴变 x 号。
- 用自己的话讲：同位角、内错角、同旁内角怎么用 F、Z、U 三个字母认？
- 举个反例："两条线不平行，同位角还相等吗？"不相等，前提没了。
- 哪里还卡壳：哪句要翻书才说顺？圈出来。