经典应用题：老祖宗留下来的套路题
行程
相遇÷追及
工程
总量设1
鸡兔同笼
先假设再补差
植树
看两端栽不栽
开场场景：两辆车从两地对开，一辆每小时 60、一辆每小时 40，相距 300 公里，几小时碰面？这种题读着像语文，其实就一句话：距离 ÷ 速度和 = 时间。学会这套"翻译"，应用题就不可怕了。
义是什么：四类题各有一句"题眼"
行程三量：路程 = 速度 × 时间。相遇（面对面开）：时间 = 总距离 ÷（速度甲+速度乙）。追及（同向追）：时间 = 距离差 ÷（快速度−慢速度）。工程：把总工程量看成 1，甲独做 10 天则效率 = 1/10，合作效率相加。鸡兔同笼：鸡兔共 N 只、M 条腿，先假设全是鸡，腿数会少，每把一只鸡换成兔多 2 条腿，差额 ÷ 2 就是兔的只数。植树：两端都栽，棵数 = 段数 + 1；只栽一端，棵数 = 段数；两端都不栽，棵数 = 段数 − 1。
路怎么想到的：先归类，再套套路
心法：读题先判类型——看到"相向/相对开出"是相遇；看到"同向/追上"是追及；看到"独做/合作几天完成"是工程；看到"几只头几条腿"是鸡兔同笼；看到"路一边栽树"是植树。判对类型，公式自动出来。
假设法万能：鸡兔同笼不会列方程？就先全假设成一种，算出的腿数和实际一对比，差额就是另一种动物的数量。这种"先假设、再补差"的思路，工程和浓度题也常用。
完整解法：三道例题
用途与案例
快递：行程问题的现实版
快递车 A 从北京出发，速度 80 km/h；快递车 B 从上海出发，速度 70 km/h，两地相距 1200 km。两车相向而行，几小时后相遇？80x + 70x = 1200 → x = 8 小时。
装修队：工程问题
师傅单独刷墙 10 天干完，徒弟 15 天干完。师傅先单独干 2 天，然后师徒一起干，还要几天？师傅 2 天干了 2/10 = 1/5，剩下 4/5。合干一天 = 1/10 + 1/15 = 1/6，还需 4/5 ÷ 1/6 = 4.8 天。
植树题"加 1"和"减 1"最易错：只栽一端或封闭图形（绕花坛一圈），棵数 = 段数；两端都不栽（两楼之间），棵数 = 段数 − 1。鸡兔同笼别除错：差额 ÷ 2 才是"另一种"的数量，不是总数。工程题合作效率是相加：不是把天数相加，是把 1/天数 相加。
练习
基础：甲独做 6 天完成，乙独做 12 天，合作几天？
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甲效率 1/6，乙 1/12，合作 = 1/6+1/12 = 3/12 = 1/4，所以 4 天。错了或卡壳？回到本章「工程总量设1、效率相加」那一段，把例题再顺一遍。
进阶：5 年前爸爸比儿子大 25 岁，今年两人年龄和 45，今年各几岁？
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年龄差永远 25（年龄问题不变量）。儿子 = (45−25)÷2 = 10，爸爸 = 35。错了或卡壳？回到本章「年龄差不变」那一段，把例题再顺一遍。
奥数：两楼之间 60 米，每隔 3 米栽一棵树（两端不栽），栽几棵？
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段数 = 60÷3 = 20；两端不栽，棵数 = 20−1 = 19 棵。错了或卡壳？回到本章「两端不栽减1」那一段，把例题再顺一遍。
证经典应用题的五大底层套路
推导：这些套路不是凭空编出来的——它们都是"已知几个量求另一个量"的方程思想的不同包装。鸡兔同笼的假设法本质是解一个二元一次方程组；工程问题本质是反比例。小学不会教你方程组，但套路的本质就是方程组。
① 相遇÷速度和，追及÷速度差；工程总量设 1。
② 鸡兔同笼先全假设成一种，差额÷2 是另一种。
③ 植树看两端：都栽 +1，都不栽 −1。
- 用自己的话讲：相遇和追及的公式差在哪？
- 举个反例："栽树为什么有时候加 1 有时候减 1？"拿手指比划 3 个指缝。
- 哪里还卡壳：哪句要翻书才说顺？圈出来。