立体图形：从平面站起来
表面积
糊一层要多少纸
体积
能装多少（立方）
四种
长方体/正方体/圆柱/圆锥
单位
平方 vs 立方别混
开场场景：快递员问你"箱子多大"，他得先算这个纸盒子六个面展开有多大（表面积，决定用多少纸），再算它能塞多少东西（体积，决定运费按什么算）。这一章就把这两个量的公式一次背熟。
义是什么：表面积是"皮"，体积是"瓤"
大白话：表面积 = 把这个物体所有外表面摊平，一共多大（单位：平方米，跟面积一个单位）。体积 = 这个物体占多大空间、能装多少水（单位：立方米、升）。橘子皮是表面积，橘子瓣果肉是体积——给橘子打蜡算表面积，称橘子多重跟体积有关。
四个核心公式（a、b、c 是长宽高，r 是半径，h 是高）：长方体表面积 2(ab+bc+ac)、体积 abc；正方体表面积 6a²、体积 a³；圆柱体积 πr²h；圆锥体积 (1/3)πr²h。记法：柱体体积一律"底面积 × 高"；锥体永远是它等底等高柱体的 ⅓。
路怎么想到的：先想"它由哪些平面拼成"
心法：求表面积 = 把立体拆成几个平面图形，分别算面积再相加。长方体六个面，相对的两个面一样大，所以只算前、上、右三个面再乘 2。求体积 = 先求底面积，再乘高——圆柱底面是圆，底面积 πr²，乘高就是 πr²h。
圆锥为什么除以 3：拿一个圆锥容器和一个等底等高的圆柱容器做实验，圆锥装水往圆柱里倒，要倒 3 次才倒满。所以圆锥体积正好是圆柱的 ⅓。单位陷阱：表面积答平方米，体积答立方米（或升），看到"用料、涂漆"想表面积，看到"装水、占空间"想体积。
完整解法：三道例题
用途与案例
装修：算建材用料
圆柱形水管：V = πr²h → 算需要多少水或多少材料。圆锥形粮仓：V = ⅓πr²h → 算能装多少吨粮食（再乘以每立方米粮食的重量）。算错体积，材料要么不够要么浪费。
饮料罐：为什么不做成方的
同样体积的容器，圆柱形用料最少——V = πr²h，表面积 S = 2πr² + 2πrh。在同样 V 下，圆柱的 S 比方形容器小 20% 左右。可口可乐的每一个罐子都是数学最优解。
| 图形 | 表面积 | 体积 |
|---|---|---|
| 长方体 a×b×c | 2(ab+bc+ac) | a·b·c |
| 正方体 a | 6a² | a³ |
| 圆柱（r,h） | 2πr²+2πrh | πr²h |
| 圆锥（r,h） | 侧面积 πrl（拓展） | (1/3)πr²h |
圆锥别忘除以 3，圆柱别除：记住"锥子是尖的，同样底座比柱子少装，只装三分之一"。无盖水桶、通风管：题目说"无盖"就少算一个底面；"通风管"两头通，只算侧面，别把底面积也加进去。升和立方米：1 升 = 1 立方分米 = 1000 立方厘米。
练习
基础：正方体棱长 4，表面积和体积？
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表面积 = 6×4² = 96，体积 = 4³ = 64。错了或卡壳？回到本章「柱体底面积乘高、锥体除以3」那一段，把例题再顺一遍。
进阶：圆柱半径 1、高 5（π 取 3.14），体积？
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π×1²×5 = 15.7。错了或卡壳？回到本章「柱体底面积乘高」那一段，把例题再顺一遍。
奥数：等底等高的圆柱和圆锥体积差 24，圆锥体积是多少？
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圆柱是圆锥的 3 倍，差 = 3份−1份 = 2份 = 24，1份 = 12。错了或卡壳？回到本章「锥体是柱体三分之一」那一段，把例题再顺一遍。
证体积公式怎么来的——从平面到立体的跨越
为什么圆锥是圆柱的 ⅓：拿三个一模一样的圆锥，装满沙子倒进一个同底同高的圆柱，刚好倒满。这不是巧合——阿基米德用穷竭法（早期的积分）证明了这个 ⅓。小学记住就行，大学微积分会教你严格推导。
球的体积：还是阿基米德的杰作——他用"切片法"把球切成无数薄圆片，加起来就是 ⁴⁄₃πr³。这个推导过程被刻在他的墓碑上。
① 表面积答平方米，体积答立方米/升。
② 柱体体积 = 底面积×高；锥体 = 它的 ⅓。
③ 无盖、通风管要少算面，看清题目。
- 用自己的话讲：表面积和体积哪个答平方米、哪个答立方米？
- 举个反例 / 生活里什么时候最容易错："圆锥为什么要除以 3？"拿圆锥往等底等高圆柱里倒三次水比划一遍。
- 哪里还卡壳：哪句要翻书才说顺？圈出来，那就是你的薄弱点。