大学物理 · 刚体力学：转动惯量与转动定律

刚

刚体力学：转动惯量与转动定律

Rigid Body Dynamics · $\tau=I\alpha$

上一章把物体当质点；这一章物体不能变形，但可以转。平动有 $F=ma$，转动就有 $ au=Ilpha$——力换成力矩，质量换成转动惯量 $I$。

①

转动惯量

$I=\int r^2 dm$

②

转动定律

$\tau=I\alpha$

③

角动量

$L=I\omega$

④

平行轴

$I=I_c+md^2$

开场场景：开门时你推门把手（远离转轴的地方）特别省力，推靠近合页的地方推不动。同样的力，效果差很多——因为力臂不同。这就是转动世界的核心：力 × 力臂 = 力矩。

卡必背公式 / 记忆口诀

转动惯量：$I=\int r^2\,dm$（$r$ 是质元到转轴距离）

转动定律：$\tau_{\text{合}}=I\alpha$，$lpha=d\omega/dt$ 角加速度

转动动能：$E_k=\frac12 I\omega^2$；角动量 $L=I\omega$

平行轴定理：$I=I_c+md^2$（$I_c$ 过质心，$d$ 为两轴距离）

口诀：平动对应转动——$m\leftrightarrow I$，$F\leftrightarrow\tau$，$v\leftrightarrow\omega$，$a\leftrightarrow\alpha$。

义是什么：转动世界的 $F=ma$

刚体：内部各点距离不变的理想化物体。它的运动 = 质心平动 + 绕质心转动。

转动惯量 $I$：刚体转动的"惯性大小"。质量越远离转轴，$I$ 越大：$$I=\int r^2\,dm.$$细杆绕一端 $I=\frac13 ML^2$，绕中心 $I=\frac1{12}ML^2$；圆盘绕中心轴 $I=\frac12 MR^2$；圆环 $I=MR^2$。

转动定律：合外力矩等于转动惯量乘角加速度：$ au_{\text{合}}=I\alpha$。角动量 $L=I\omega$，合外力矩为零时 $L$ 守恒——花样滑冰运动员收臂转得快就是这个道理。

路怎么想到的：把平动公式"换帽子"

对照记忆：平动 $m,F,v,a,p,E_k=\frac12 mv^2$ ↔ 转动 $I,\tau,\omega,\alpha,L=I\omega,E_k=\frac12 I\omega^2$。

平行轴定理：不知道绕某轴的 $I$，先算过质心的 $I_c$，再加 $md^2$。垂直轴定理：薄板 $I_z=I_x+I_y$。

例题：三道典型题

例1：圆盘 $M=2$ kg，$R=0.5$ m，受 $ au=4$ N·m 力矩，角加速度？

$I=\frac12 MR^2=\frac12\cdot2\cdot0.25=0.25$ kg·m²。

$\alpha=\tau/I=4/0.25=\mathbf{16\ rad/s^2}$。

例2：细杆 $M=1$ kg，$L=1$ m，绕一端转动惯量？绕中心呢？

直接套公式。

绕一端 $I=\frac13 ML^2=\mathbf{0.333}$ kg·m²；绕中心 $I=\frac1{12}ML^2=\mathbf{0.0833}$ kg·m²。用平行轴定理验证：$0.0833+1\cdot0.5^2=0.333$。

例3：花样滑冰选手伸臂时 $I_1=3$ kg·m²，转速 $\omega_1=2$ rad/s；收臂后 $I_2=1$ kg·m²，转速？

角动量守恒 $I_1\omega_1=I_2\omega_2$。

$\omega_2=I_1\omega_1/I_2=3\cdot2/1=\mathbf{6\ rad/s}$——收臂瞬间转速变 3 倍。

用途与案例

体育：芭蕾舞/花样滑冰

收臂减小 $I$，角动量守恒让 $\omega$ 暴增，转得飞快。

机械：飞轮储能

大 $I$ 的飞轮高速旋转储存 $rac12 I\omega^2$ 能量，公交车制动时回收能量。

展往哪儿长

高中：匀速圆周运动、向心力。大学：刚体平面运动（自行车轮纯滚动 $v_c=R\omega$）、陀螺进动。前沿：欧拉方程处理三维刚体（如卫星姿态控制）。

纯滚动：接触点瞬时速度为零，$v_c=R\omega$，$a_c=Rlpha$；摩擦力方向要看相对滑动趋势。

防坑警示

$I$ 依赖转轴：同一根杆，绕中心和绕端点差 4 倍，题目不说转轴就不能套公式。力矩是矢量：方向沿转轴（右手定则），别只记大小。角动量守恒条件：合外力矩为零，不是合外力为零。