振
机械振动：弹簧振子与单摆
Oscillation · $F=-kx$, $T=2\pi\sqrt{L/g}$
前面都是’走出去’的运动；这一章物体在一个位置附近来回往复。简谐运动是所有波动的母体。
①
简谐运动
回复力 $F=-kx$
②
弹簧振子
周期 $T=2\pi\sqrt{m/k}$
③
单摆
$T=2\pi\sqrt{L/g}$
④
共振
驱动力频率=固有频率
开场场景：弹簧挂个重物，上下一拉就抖个不停；钟摆左右晃。这种’拉回来又冲过头’的运动叫简谐运动。
卡必背公式 / 记忆口诀
简谐运动回复力：$F=-kx$（始终指向平衡位置）
弹簧振子周期：$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$
单摆周期：$T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$（小角度）
受迫振动：稳定后频率=驱动力频率；共振：驱动力频率=固有频率
口诀：口诀：单摆周期只跟摆长和 $g$ 有关，跟摆球质量、振幅无关
义是什么
简谐运动：回复力 $F=-kx$，与位移成正比、方向相反。平衡位置速度最大、加速度为零；最大位移处速度为零、加速度最大。
单摆：小角度下 $T=2\pi\sqrt{L/g}$。伽利略发现：周期与摆球质量、振幅无关（等时性），只由摆长和 $g$ 决定。
路怎么想到的
振动图像：$x$-$t$ 图像是正弦曲线，振幅 $A$、周期 $T$。共振：驱动力频率等于系统固有频率时振幅最大——过桥要便步走、部队齐步过桥曾振塌桥。
例题：三道计算
例1：弹簧 $k=100\ N/m$ 拉离平衡 0.1 m，回复力？
$F=-kx$。
$F=-100\times0.1=\mathbf{-10\ N}$（指向平衡位置）。
例2：摆长 1 m 的单摆周期？($g=9.8$)
$T=2\pi\sqrt{L/g}$。
$T=2\pi\sqrt{1/9.8}\approx\mathbf{2.0\ s}$。
例3：同一单摆移到月球上（$g_月=g/6$），周期变大还是小？
$T\propto1/\sqrt{g}$。
$g$ 变小，$T$ 变大（$\sqrt6\approx2.45$ 倍）。
用途与案例
生活：钟摆/石英钟
利用单摆等时性计时；摆长调准一天误差。
工程：减震器
调固有频率避开路面驱动力频率，避免共振。
展往哪儿长
必修：直线/曲线运动。选必一：简谐运动、单摆、受迫振动共振。后续：机械波（下一章）、交流电、分子热振动。
防坑警示
单摆周期与振幅、质量无关（小角度）；别记错。共振有好有坏：利用共振（乐器）、防止共振（桥梁、机械）。$F=-kx$ 的负号表示方向指向平衡位置。
练习
基础：单摆周期公式？
查看解答
$T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$。做对了？很好，下一题/下一章走起。
错了或卡壳？回到本章对应段落，把例题再顺一遍。
错了或卡壳？回到本章对应段落，把例题再顺一遍。
进阶：摆长 0.25 m 单摆周期？($g=10$)
查看解答
$T=2\pi\sqrt{0.25/10}=2\pi\times0.158\approx\mathbf{1.0\ s}$。做对了？很好，下一题/下一章走起。
错了或卡壳？回到本章对应段落，把例题再顺一遍。
错了或卡壳？回到本章对应段落，把例题再顺一遍。
思考：把单摆摆长增为 4 倍，周期变几倍？
查看解答
$T\propto\sqrt L$，变 2 倍。做对了？很好，下一题/下一章走起。
错了或卡壳？回到本章对应段落，把例题再顺一遍。
错了或卡壳？回到本章对应段落，把例题再顺一遍。
证教材级补充
结论：单摆是简谐运动的近似：小角度（$\theta<5°$）时回复力 $F\approx-mg\theta=-mgx/L$，即 $k_\text{等效}=mg/L$，代入弹簧振子周期 $T=2\pi\sqrt{m/k}$ 得 $T=2\pi\sqrt{L/g}$。
这就是单摆周期公式的由来。大角度时不再是严格简谐运动，周期会略增，等时性破缺。
例：测 $g$ 实验——测单摆 $L$ 和 $T$，反推 $g$？
$g=4\pi^2 L/T^2$，多次取平均。做对了？很好，下一题/下一章走起。
错了或卡壳？回到本章对应段落，把例题再顺一遍。
错了或卡壳？回到本章对应段落，把例题再顺一遍。
例：共振条件？
驱动力频率 = 系统固有频率，此时振幅最大。做对了？很好，下一题/下一章走起。
错了或卡壳？回到本章对应段落，把例题再顺一遍。
错了或卡壳？回到本章对应段落，把例题再顺一遍。
记
小结卡
① $F=-kx$；平衡位置速度最大。
② 单摆 $T=2\pi\sqrt{L/g}$，与质量振幅无关。
③ 共振：驱动频率=固有频率，振幅最大。
费曼学习法：讲给别人听
合上书本，假装对面坐着一个高一的小孩，把这三件事说清楚——说不清楚的地方，就是你没真懂。
- 用自己的话讲：本章核心是「机械振动：弹簧振子与单摆」，合上书用自己的话讲一遍，不许照抄。
- 举个反例 / 什么时候最容易错："‘为什么钟摆调长一秒变慢？'——$T=2\pi\sqrt{L/g}$，摆长 $L$ 增大周期变长，钟就走慢了，调短一点即可。"
- 哪里还卡壳（标记你的薄弱点）：哪一句你要翻书才说得顺？那个地方就是你的薄弱点，拿笔圈出来。