向量空间与线性变换
【章首引子】一张 1000×1000 的照片，把像素拉平，它就是个 100 万维的向量。我们每天活在高维空间里而不自知。这一节把"空间"从箭头抽象出来——多项式、函数、图片，都能看成向量。
① 是什么：基、维数、线性变换
啥向量空间的抽象定义
向量空间：一组向量能加、能数乘，满足一堆规矩（交换律、结合律、有零向量）。不只是箭头：多项式、函数、图片都能看成向量。
基与维数：一组能张成整个空间、又彼此独立的向量叫基；基里有几个向量，空间就是几维。线性变换：T 满足 T(u+v)=T(u)+T(v) 和 T(ku)=kT(u)——"保持加法和数乘"，直线进去还是直线，原点不动。旋转、缩放、投影都是；每个线性变换在给定基下对应一个矩阵。
② 怎么想到的
思解题心法
抓"基"：任何向量都能表示成基向量的组合，就像任何数都能用十进制写。
证向量空间与线性变换的核心定理与公式
推导思路：①取一组基 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$，则空间中每个 $v$ 都能唯一写成 $v=\sum\limits_{i=1}^{s}c_i\alpha_i$（存在性来自"张成"，唯一性来自"线性无关"）。②于是 $v\leftrightarrow(c_1,\ldots,c_s)$ 建立了 $V$ 到 $\mathbb{R}^{s}$ 的一一对应，且保持加法与数乘，即 $V\cong\mathbb{R}^{s}$。③若另有基 $\beta_1,\ldots,\beta_t$，同理有 $V\cong\mathbb{R}^{t}$，故 $\mathbb{R}^{s}\cong\mathbb{R}^{t}$。④而 $\mathbb{R}^{s}$ 与 $\mathbb{R}^{t}$ 线性同构当且仅当 $s=t$（若 $t>s$，$t$ 个 $\mathbb{R}^{s}$ 中的向量必线性相关，无法构成基），所以维数与基怎么选无关。
直觉把握：向量空间就是"能相加、能数乘的东西的集合"——它可以是箭头，也可以是多项式、函数、甚至一张图片。基就是坐标系的那副骨架，坐标是"在这个骨架下的门牌号"。AI/工程里，embedding 就是把词、图、用户映射到某个高维向量空间，让语义相近的挨在一起；换一组基就是换一种表示，PCA 做的事情正是"换到方差最大的那组基"。
维数 = 基里向量个数。
线性变换 ⇔ 矩阵：换一组基矩阵就变，但本质是同一个变换（相似矩阵）。
③ 完整解法：三个例题
④ 用途与案例
计算机图形学
3D 渲染 = 一连串矩阵：旋转、缩放、透视投影，把世界坐标压到屏幕坐标。
数据降维 PCA
找一组"主要的基"扔掉次要方向——就是在向量空间里换基。
机器人运动
机械臂每个关节的坐标变换，全是线性变换的串联。
信号处理
傅里叶变换 = 把信号投影到"正弦余弦基"上——基变换的经典。
⑤ 延展
展知识衔接地图
往研究生走：有限维向量空间 → 泛函分析把函数当向量，把求导当算子，无穷维空间登场。往 AI 走：嵌入（embedding）就是把词/图片映射到高维向量空间，语义相近的挨在一起。
以为维数只能是 2、3。一张图片展开后是 100 万维向量。维数只是"独立坐标个数"。
以为基唯一。同一空间可以选不同坐标系，像地图能上北下南也能斜着画。
练习
【基础】R³ 的标准基有几个向量？维数？
查看思路与解答
(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)，3 个，维数 3。【进阶】为什么平移不是线性变换？
查看思路与解答
线性变换必须 T(0)=0（原点不动）。平移把原点搬到 (a,b)，T(0)=(a,b)≠0，违反。所以叫仿射，不叫线性。① 基 = 空间的"坐标轴单位"，维数 = 基里向量个数。
② 线性变换保持直线过原点；平移不是线性变换，是仿射。