三角恒等式：一整张"变形秘籍"
同角关系
sin²+cos²=1
诱导
奇变偶不变
和角倍角
sin(α±β)等
万能
t=tan(θ/2)
【章首引子】上一章你认识了 sin、cos 这对圆周上跳舞的搭档。可考试从来不让你直接算 sin30°——它偏要你算 sin75°、化简 (sinθ+cosθ)²、证明 cos4θ。凭什么能化？因为同一个角藏着无数张脸，恒等式就是"换脸说明书"。这一章把整本三角公式簿一次摊开，教你什么时候该用哪张脸。
① 根基：同角关系与诱导公式
基三条命根子，其余全会自己长出来
平方关系：sin²θ + cos²θ = 1——单位圆上点的横纵坐标平方和，永远等于半径平方 1。
商数关系：tanθ = sinθ / cosθ。倒数关系：cotθ = 1/tanθ。这三条推一切。
诱导公式（口诀"奇变偶不变，符号看象限"）：sin(π−θ)=sinθ，cos(π−θ)=−cosθ；sin(−θ)=−sinθ，cos(−θ)=cosθ；sin(π/2−θ)=cosθ，cos(π/2−θ)=sinθ。作用只有一个：把任意大角、负角，都剁成锐角再查表。
② 核心：和角、倍角、半角
半半角与万能公式
半角：由 cos2θ 的变形反解：sin²(θ/2) = (1−cosθ)/2，cos²(θ/2) = (1+cosθ)/2，tan(θ/2) = sinθ/(1+cosθ) = (1−cosθ)/sinθ。
万能公式（令 t = tan(θ/2)）：sinθ = 2t/(1+t²)，cosθ = (1−t²)/(1+t²)。威力：把整道三角题变成关于 t 的纯代数方程——这就是三角化二次方程的"降维打击"。
③ 和差化积 / 积化和差：方向相反的两台机器
| sinA + sinB | = 2 sin[(A+B)/2] · cos[(A−B)/2] |
| sinA − sinB | = 2 cos[(A+B)/2] · sin[(A−B)/2] |
| cosA + cosB | = 2 cos[(A+B)/2] · cos[(A−B)/2] |
| cosA − cosB | = −2 sin[(A+B)/2] · sin[(A−B)/2] |
积化和差是它的逆操作：sinA·cosB = ½[sin(A+B) + sin(A−B)]。求和号 Σ 里同时出现 sin、cos 相乘时，积化和差能把"乘"拆开变"加"，裂项相消。记法：和差化积靠"半和半差"四个字，积化和差就把它反过来读。
④ 怎么考：看到三角题先想什么
思解题心法：四步反射
先统一"角"，再统一"函数名"。看到 $75^\circ$、$\cos 105^\circ$ 这种非特殊角，第一反应不是查表，而是拆成两个特殊角的和差：比如 $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$，直接套和角公式。名字不统一就先用诱导公式 $\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cos\theta$ 换成同名。
看到 $\sin\theta\pm\cos\theta$ 和 $\sin\theta\cos\theta$ 同台出现，立刻平方。因为 $(\sin\theta+\cos\theta)^2 = 1+\sin 2\theta$——一次平方就把"和"翻译成"二倍角"，这是高考最爱考的整体代换。反过来已知 $\sin 2\theta$ 求 $\sin\theta+\cos\theta$ 也平方开根，别忘判正负号。
看到 $a\sin\theta+b\cos\theta$ 就用辅助角公式。提出 $\sqrt{a^2+b^2}$，凑成 $\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(\theta+\varphi)$，其中 $\tan\varphi = \frac{b}{a}$（象限自己判）。求最值、求周期、求单调区间，一步到位。
在 AI / 工程里用在哪：一切周期信号都是三角函数的加和。傅里叶变换说：任何波形都能拆成一堆 $\sin$、$\cos$ 乘系数再加起来——语音识别的 MFCC 特征、JPEG 图像压缩、Wi-Fi 的调制解调全靠它。本章的积化和差就是"混频"：两个频率相乘，会冒出"和频"和"差频"，收音机调台就是这一步。
⑤ 用途与案例
语音识别：MFCC 特征
把语音切成小帧，每帧做傅里叶变换，得到各频率的强度。你发"啊"和"哦"的差别，就是这一组系数不同——和差化积在这里每秒被调用几千次。
Transformer 位置编码
大模型得知道"这个词排在第几位"，靠的正是一组 $\sin$、$\cos$：$PE_{(pos,2i)}=\sin\big(\frac{pos}{10000^{2i/d}}\big)$。用不同频率的三角函数给每个位置发身份证。
无线电与混频
积化和差 $\sin A\cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B)+\sin(A-B)]$：两个信号相乘就生出"和频"与"差频"。把高频信号搬到低频去处理，收音机、手机射频前端全靠这一步。
交流电与简谐振动
家里的电是正弦波，电压和电流的相位差决定功率因数大小。弹簧振子、单摆、声波、弦的振动，全是同一个 $A\sin(\omega t+\varphi)$。
另一条更快的路：直接认出 sin(A+B) = sinA cosB + cosA sinB 的"逆用"，原式 = sin(15°+75°) = sin90° = 1。答案：1。（公式逆用比硬算快十倍。）
"符号看象限"看反了。诱导公式里"符号"指的是原函数在原象限的符号，不是化完之后的。怎么改：把 θ 当成锐角先定象限，再决定 ±。另一坑：二倍角 cos2θ 有三种写法，求"升幂"就用 1−2sin²θ，求"降幂"就用 (1+cos2θ)/2——用错版本题目卡死。
练习（基础 + 进阶 + 奥数）
【基础】化简：(sinθ + cosθ)²。
查看思路与解答
展开 = sin²θ + 2sinθcosθ + cos²θ = (sin²θ+cos²θ) + sin2θ = 1 + sin2θ。平方关系 + 二倍角，一步到位。错了或卡壳？回到本章「二倍角和和角公式」那一段，把思路再顺一遍。
【进阶】已知 sinθ + cosθ = 1/5，θ ∈ (0, π)，求 tanθ。
查看思路与解答
两边平方：1 + 2sinθcosθ = 1/25 ⇒ sinθcosθ = −12/25。即 sinθ、cosθ 是方程 t² − (1/5)t − 12/25 = 0 的两根：t = (1/5 ± 7/5)/2 = 4/5 或 −3/5。θ∈(0,π) 且乘积为负，故 sinθ=4/5，cosθ=−3/5，tanθ = −4/3。错了或卡壳？回到本章「二倍角和和角公式」那一段，把思路再顺一遍。
【奥数延展】求 cos36° − cos72° 的值。
查看思路与解答
设 x = 36°，5x = 180°，3x = 180°−2x，故 sin3x = sin2x。展开：3sinx − 4sin³x = 2sinx cosx，约去 sinx：3 − 4sin²x = 2cosx，即 4cos²x − 2cosx − 1 = 0，解得 cos36° = (1+√5)/4。同理 cos72° = (√5−1)/4。相减 = 1/2。这就是黄金分割藏在三角函数里。错了或卡壳？回到本章「二倍角和和角公式」那一段，把思路再顺一遍。
① 一切恒等式从 sin²+cos²=1 和和角公式长出来，别死记一堆。
② 见 sin·cos 加 cos·sin 就逆用 sin(A+B)，见"和"就和差化积。
③ 万能公式把三角题降级为关于 tan(θ/2) 的代数方程。
- 用自己的话讲：本章核心是「同角关系 / 和角倍角」，合上书用自己的话推一遍，不许跳步。
- 举个反例 / 什么时候最容易错：为什么 cos2θ=2cos²θ−1 而不是 cos²θ−sin²θ？"两个都对，前者降幂好用。
- 哪里还卡壳（标记你的薄弱点）：哪一步你要翻书才推得顺？那个地方就是你的薄弱点，拿笔圈出来。