奥数专题 · 专题四：不等式

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专题四：不等式

Inequality · 凑出来的艺术

不等式题最气人的地方是：答案就差一口气，你就是凑不到。其实它不是算出来的，是"猜"出来的——先猜等号在哪成立，再朝那个方向捏橡皮泥。

卡必背公式 / 记忆口诀

均值不等式链 AM≥GM≥HM

柯西不等式 (Σaᵢ²)(Σbᵢ²)≥(Σaᵢbᵢ)²

排序不等式正序≥乱序≥逆序

口诀：不等式核心——凑等号

这一节在六专题里的位置：上节几何比大小，这节直接比大小成精。不等式是优化算法收敛证明、误差估计的命根子——梯度下降为什么收敛，背后全是不等式。

这节要学：比较 → AM-GM → 柯西 → 放缩/凑等号

不是什么：灵魂是"等号什么时候成立"

给定一堆正数，证谁不超过谁——核心全在凑等号成立的瞬间。竞赛常考：均值不等式 AM≥GM、柯西不等式、排序不等式、三角不等式，以及放缩、构造、数学归纳法。

路考点心法：看到「专题四：不等式」先想什么

• 题型识别：先看是数论/组合/几何/不等式/函数方程哪类——不同类型有不同套路

• 方法选择：抽屉原理/染色法/反证法/构造法/不变量——奥数就这几把刷子

• 别忘验证：竞赛题有陷阱——算出答案要检查边界条件

想怎么想到的：先猜后凑

拿到不等式题，第一件事不是动笔，是猜等号什么时候成立——通常是所有变量相等的瞬间。然后朝那个方向凑：给 a+b=1 就乘 (a+b)，给 xyz=1 就往"3"这个定值上靠。放缩像捏橡皮泥：松一点紧一点都行，唯独不能捏破。

核心方法三招

均方法一：均值不等式（AM ≥ GM）

正数 a₁,…,aₙ 的算术平均 ≥ 几何平均：(a₁+…+aₙ)/n ≥ ⁿ√(a₁·…·aₙ)。两数时就是 (a+b)/2 ≥ √(ab)，等号当所有数相等。求"和最小""积最大"先想起它。

柯方法二：柯西不等式

$(a^2+b^2)(c^2+d^2) \geq (ac+bd)^2$。长相很好认——"平方和的乘积" ≥ "交叉乘积和的平方"。交叉的总是吃亏，所以左边 ≥ 右边。等号当 a/c = b/d。

归方法三：数学归纳法

证"对一切 n 成立"两步走：① 证 n=1 成立（奠基）；② 假设 n=k 成立，推 n=k+1 成立（递推）。像多米诺骨牌：第一块倒了，每块保证下一块倒，那就全倒。

经典例题

先审题憋三分钟，再点开看完整过程。

例1. 已知 a, b > 0，a + b = 1，求 1/a + 1/b 的最小值。

审题：和为定值 1，求倒数和的最小。

思路：乘以 (a+b) 凑均值。

逐步解法：1/a + 1/b = (a+b)(1/a+1/b) = 2 + a/b + b/a。由均值 a/b + b/a ≥ 2，故原式 ≥ 4。等号当 a = b = 1/2。

答案：最小值为 4

【自评反馈】和答案对得上 → 继续下一题；对不上 → 回到本页"是什么"和例题区，把卡住的那步再推一遍。

例2. 证明：(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²。（柯西不等式）

审题：经典柯西，直接展开。

思路：两边一减现原形。

逐步解法：左边 − 右边 = (a²c² + a²d² + b²c² + b²d²) − (a²c² + 2abcd + b²d²) = $(ad-bc)^2 \geq 0$。等号当 ad = bc。

证毕

【自评反馈】和答案对得上 → 继续下一题；对不上 → 回到本页"是什么"和例题区，把卡住的那步再推一遍。

例3. 已知 x, y, z > 0，xyz = 1，证明：x² + y² + z² ≥ x + y + z。

审题：二次方 ≥ 一次方，乘积条件 xyz=1。

思路：对每个变量用 x²+1 ≥ 2x，再借 xyz=1 补刀。

逐步解法：由 (x−1)² ≥ 0 得 x²+1 ≥ 2x，三式相加：(x²+y²+z²) + 3 ≥ 2(x+y+z)。又由均值，x²+y²+z² ≥ 3(xyz)^⅔ = 3。于是 2(x+y+z) ≤ (x²+y²+z²)+3 ≤ 2(x²+y²+z²)，除以 2 即得。等号当 x=y=z=1。

证毕

【自评反馈】和答案对得上 → 继续下一题；对不上 → 回到本页"是什么"和例题区，把卡住的那步再推一遍。

用用途与案例

现实里：测量误差的上限估计、"用料最省"的最优设计。科研里：机器学习训练要证损失函数收敛、统计里要估误差范围，背后全是不等式放缩。

延延展：往楼上走一步

柯西不等式往上是内积空间：|⟨u,v⟩| ≤ ‖u‖·‖v‖，这是泛函分析的基石；均值不等式往上是詹森不等式，凸优化和经济学效用理论都靠它。

防坑警示

坑一：忘了"正数"前提。均值不等式要求每个数 > 0——a、b 是负数时 (a+b)/2 ≥ √(ab) 直接报废。怎么改：用之前先扫一眼符号。

坑二：放缩捏破了。要证 A ≥ B，你把 A 放大成 A′ 结果 A′ < B，链条就断了。怎么改：放缩完务必回头验算方向对不对，宁可放得松，不能放得反。

奥数思维点拨 · 不等式

突破口：凑等号成立条件。不等式不是"证出来"的，是"凑出来"的。先猜等号在哪成立，题目给什么定值，你就朝那个定值乘、加、补——方向对了，水到渠成。

费曼学习法：讲给别人听

① 用自己的话讲：不等式不是硬算的，是先猜等号在哪、再往那个方向捏：AM-GM 看乘积，柯西看点积。

② 举个反例（什么条件下不成立）：AM-GM 要求每项都正；等号成立条件不满足，放缩就过头了。

③ 哪里还说不清：柯西不等式的向量版本怎么用？

记

本专题小结

① 先猜等号，再凑方向。② AM≥GM 管"和最小积最大"，柯西管"平方和乘积"。③ 放缩别放反。

费曼学习法

合上书，给一个完全不懂的人讲清楚「专题四：不等式」——说不清楚的地方就是你没真懂的。

证专题四：不等式的关键定理与公式

核心性质：① 均值不等式（AM-GM）：对正数 $a_1,\dots,a_n$ 有 $\frac{a_1+\cdots+a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1\cdots a_n}$，等号当且仅当 $a_1=\cdots=a_n$。
② 柯西-施瓦茨不等式：$(\sum a_i^2)(\sum b_i^2) \ge (\sum a_ib_i)^2$，等号当 $\frac{a_1}{b_1}=\cdots=\frac{a_n}{b_n}$。
③ 琴生不等式：若 $f$ 为凸函数，则 $f\big(\frac{x+y}{2}\big) \le \frac{f(x)+f(y)}{2}$；凹函数方向相反。
④ 排序不等式：两组同向排序的数，顺序和 $\ge$ 乱序和 $\ge$ 逆序和。

推导（不跳步）：以二元 AM-GM 为例——① 目标是证 $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\;(a,b>0)$。② 因为 $a = (\sqrt{a})^2$、$b = (\sqrt{b})^2$，而任何实数的平方非负，所以 $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0$。③ 展开得 $a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$。④ 移项得 $a+b \ge 2\sqrt{ab}$。⑤ 两边除以 $2$ 即得结论；等号成立的唯一可能是 $\sqrt{a}-\sqrt{b}=0$，即 $a=b$。柯西可同样配方得到：$\sum (a_ix-b_i)^2 \ge 0$ 展开后是关于 $x$ 的二次式恒非负，判别式 $\le 0$ 正是柯西。

直觉把握：AM-GM 说的是"平均数总不比几何平均数小，越参差差得越多"——两个数差得越远，均值被大的那个拽得越高，而乘积不变。琴生不等式则是"凹坑里扔两个点，连线中点永远在坑底上方"。抓住"等号在什么时候成立"，就抓住了不等式题的命门。

例题：$a,b,c>0$ 且 $a+b+c=1$，求 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ 的最小值

【审题】和为定值、求倒数和的最小值——和定积最大的孪生题型，先猜等号点。

逐步：① 猜等号：三项完全对称，等号必在 $a=b=c=\frac{1}{3}$ 处，此时值为 $9$。② 用柯西证它确实最小：取 $a_i = \sqrt{a}$ 那一组不方便，改直接用 $(a+b+c)\big(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\big) \ge (1+1+1)^2 = 9$（柯西，取 $a_i=\sqrt{a}$、$b_i=\frac{1}{\sqrt{a}}$）。③ 由 $a+b+c=1$ 得 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \ge 9$。④ 答案：最小值为 $9$，当 $a=b=c=\frac{1}{3}$ 时取到。
现代应用：这个"和定、倒数和有下界"的结构，在机器学习里对应正则化项的界；而柯西-施瓦茨保证了余弦相似度不超过 $1$，注意力权重才能安全地做归一化。

例题：用琴生不等式证明：对任意正数 $x,y$，有 $\ln\frac{x+y}{2} \ge \frac{\ln x + \ln y}{2}$

【审题】左边是"平均值的函数"、右边是"函数的平均值"，且 $\ln$ 是凹函数——琴生的标准形状。

逐步：① 验证凹凸：$( \ln x )'' = -\frac{1}{x^2} < 0$，所以 $\ln x$ 是凹函数。② 琴生不等式对凹函数方向反过来：凹函数 $f$ 满足 $f\big(\frac{x+y}{2}\big) \ge \frac{f(x)+f(y)}{2}$。③ 代入 $f = \ln$ 即得 $\ln\frac{x+y}{2} \ge \frac{\ln x + \ln y}{2}$。④ 整理右边 $=\frac{\ln(xy)}{2} = \ln\sqrt{xy}$，于是不等式等价于 $\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$——琴生推出的正是 AM-GM。⑤ 答案：证毕，等号当 $x=y$。
现代应用：把 $\ln$ 换成任意一个凹函数，这条不等式就是 EM 算法和变分推断里证据下界 ELBO 的全部数学——VAE 的损失函数，就是靠它把"对数的期望"换成"期望的对数"来求解的。

例题：$x>0$，求 $x + \frac{4}{x}$ 的最小值，并说明等号何时成立

【审题】一项在分子、一项在分母，乘积恰好是常数——AM-GM 的直接靶子。

逐步：① 两项之积 $x\cdot\frac{4}{x} = 4$ 是定值，符合"积定和最小"。② 由 AM-GM：$x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 4$。③ 检查等号：要求两项相等，即 $x = \frac{4}{x}$，得 $x^2 = 4$，因 $x>0$ 故 $x=2$。④ 代入验证：$2 + \frac{4}{2} = 4$，确实取到。⑤ 答案：最小值为 $4$，在 $x=2$ 时取到。
现代应用："两项乘积为定值则和有下界"正是学习率与批大小权衡这类调参问题里反复出现的结构；而"必须检查等号能否取到"，对应工程里"理论下界达不达得到"的灵魂拷问。

④ 用途与案例

工程：专题四：不等式

在工程、物理、计算机、金融等领域，专题四：不等式是基础工具——理解"使用场景"比死记公式重要。

日常：你见过但没注意的专题四：不等式

生活中处处有专题四：不等式——价格波动、几何造型、统计图表、游戏设计——只不过没人告诉你这就是数学。