初中数学 · 第9节 · 不等式：比大小的学问

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不等式：比大小的学问

Inequality · 不相等也是关系

上章学的是等式（两边正好相等），这章学不等式。为啥？生活里"不少于""最多""至少"比"正好"多得多。学完你就能处理钱不够、时间不够这类问题；下一章学函数。

①

不相等也是关系

②

加减不变向

③

乘除负数要翻面

④

取公共部分

开场场景：你带 100 元去吃饭，人均 30 元，最多能请几个人？题目不是问"刚好等于几"，而是问"不能超过几"。这就是不等式。现实问题很少问"必须相等"，更多问"最多多少、至少多少、不能超过多少"。

卡必背公式 / 记忆口诀

乘除负数必须翻不等号

数轴找交集

别漏等号（≥/≤和>/<不同）

口诀：不等式变号时，两边乘负数

大白话：不等式用 >、<、≥、≤ 连接。方程解出来是一个数，不等式解出来是一个范围。x ≤ 3.33 表示所有不超过 3.33 的数都行。

数轴表示：大于往右画，小于往左画。空心圈表示不包含（>、<），实心点表示包含（≥、≤）。

心法：解不等式和解方程几乎一样，唯一区别是——两边同时乘除负数时，不等号要翻面！≥ 变 ≤，> 变 <。

不等式组：找两个解集的公共部分。口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到。{x>5；x<2} 就是"大大小小找不到"——无解。

例1：带 100 元，人均 30，最多几人？

审题：不能超过。思路：列不等式取整。

逐步：30x ≤ 100 → x ≤ 3.33。人数取整数，最多 3 人。

例2：解 −2x ≥ 6。

审题：乘除负数。思路：除以 −2 要变号。

逐步：两边除以 −2，不等号翻面：$x \leq -3$。注意：这是初中最阴的坑。

例3：不等式组 { x>2；x<5 } 的解。

审题：找公共部分。思路：画数轴。

逐步：大于 2 往右、小于 5 往左，公共部分 $2 < x < 5$。

"带 500 元每本 35 元最多买几本"、高速限速 60≤v≤120——交通标志、预算上限全是不等式。

"工时原料有限，怎么安排产量利润最大"——这就是线性规划，初中不等式是它的雏形。快递排班、库存控制都在解不等式组。

初中：一元一次不等式、不等式组。高中：二次不等式、绝对值不等式；基本不等式 a+b≥2√(ab)。大学：线性规划（在一堆线性不等式里找最优）、凸优化（AI 训练的 loss 约束）。

奥数延展：{ 2x−1>3；x−4≤1 } 的整数解有几个？解得 2<x≤5，整数 3、4、5 共 3 个。

防坑警示

乘除负数忘变号，初中最阴的坑，没有之一：−3x<9，两边除以 −3 写 x<−3？错！正确：x>−3。为什么必须变：−3<2 是对的，两边乘 −1 得 3 和 −2，不变号就成 3<−2，显然荒唐。