代数式与整式：用字母代替数
代数式
字母空盒子
单项式/多项式
同类项才能合
乘法公式
平方差/完全平方
找规律
列前几项看差
开场场景：用火柴棒摆三角形。摆 1 个三角形用 3 根，摆 2 个拼在一起用 5 根，摆 3 个用 7 根……老师问"摆 100 个用几根？"你总不能真摆 100 个吧。这一节教你用一个字母 n 把规律写出来，第 n 个图形要几根，一秒算出来。
义是什么：字母就是个空盒子
大白话：代数式就是用字母和数字、加减乘除搭出来的式子。3x、2a+5、x²−1 都是。字母不是神秘符号，就是个还没填数的空盒子。盒子里到底是几？后面再填。
名词：单项式（没有加减的一坨乘积，如 3x）；多项式（几个单项式加减连起来，如 3x+2）；同类项（字母部分一模一样的项，才能合并，3x 和 5x 合 = 8x，3x 和 3y 不能合）。
路怎么想到的：找规律先列前几项
心法：碰到"第 n 个图形要几根"这类题，先把前 3 项的数列出来：1→3，2→5，3→7。看相邻两项差几（差 2），再套到第 n 个上。
合并同类项：先找哪些项字母长得一样，把它们归堆；括号前是负号，去括号时里面每一项都要变号。乘开 (x+a)(x+b)：首首、外外、内内、尾尾，四项都要见面，别漏中间。
完整解法：三道例题
用途与案例
生活：规律探究
电影院"第 1 排 20 个座位，每排比前一排多 2 个"，第 n 排 = 20+2(n−1) = 2n+18。有了 n，第 50 排直接算。
职业：编程变量
程序员写 price = 5 * n，n 就是变量。整式就是编程里变量表达式的数学祖宗。
展往哪儿长
初中：整式运算、因式分解（把 x²+5x+6 拆回 (x+2)(x+3)）。高中：整式升级为多项式函数，二次函数 ax²+bx+c、数列通项公式全是整式。大学：多项式环、泰勒展开（任何函数都能用多项式逼近）、计算机里的多项式哈希。
奥数延展：已知 a+b=5，ab=6，求 a²+b²。不用分别求 a、b，用 a²+b² = (a+b)²−2ab = 25−12 = 13。这就是"整体思想"。
(a+b)² 漏中间项：写成 a²+b² 是经典错误。正确：(a+b)² = a²+2ab+b²。为什么漏：你以为平方只管自己，其实括号里的 a 和 b 要互相见面一次，每人出一份就是 2ab。
练习
基础：化简 3a + 5 − a + 2。
查看解答
3a−a=2a，5+2=7 → 2a+7。错了或卡壳？回到本章「同类项合并和 (a+b)² 漏 2ab」那一段，把例题再顺一遍。
进阶：展开 (x−3)(x+4)。
查看解答
x²+4x−3x−12 = x²+x−12。错了或卡壳？回到本章「同类项合并和 (a+b)² 漏 2ab」那一段，把例题再顺一遍。
奥数：已知 x+y=4，xy=3，求 x²+y²。
查看解答
x²+y² = (x+y)²−2xy = 16−6 = 10。错了或卡壳？回到本章「同类项合并和 (a+b)² 漏 2ab」那一段，把例题再顺一遍。
证教材级补充：乘法公式（平方差与完全平方）
推导：①(a+b)(a−b) 用分配律展开 = a·a + a·(−b) + b·a + b·(−b) = a² − ab + ab − b²。②中间两项 −ab+ab 抵消，剩 a² − b²。③(a+b)² = (a+b)(a+b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²。④这就是为什么"漏 2ab"是经典错——ab 要见面两次。
基础例题：用平方差算 99 × 101。
99×101 = (100−1)(100+1) = 100² − 1 = 9999。比硬乘快十倍。错了或卡壳？回到本章「同类项合并和 (a+b)² 漏 2ab」那一段，把例题再顺一遍。
进阶例题：(2x+3)² = ？
= (2x)² + 2·(2x)·3 + 3² = 4x² + 12x + 9。错了或卡壳？回到本章「同类项合并和 (a+b)² 漏 2ab」那一段，把例题再顺一遍。
① 字母就是空盒子，先不管是几把关系写下来。
② 同类项才能合并，括号前负号全变号。
③ (a+b)² = a²+2ab+b²，中间那项不能丢。
- 用自己的话讲：本章核心是「代数式 / 乘法公式」，合上书用自己的话讲一遍，不许照抄。
- 举个反例 / 什么时候最容易错："为什么 (a+b)² 不能直接写成 a²+b²？"括号里的 a 和 b 要互相见面一次，每人出一份就是 2ab。
- 哪里还卡壳（标记你的薄弱点）：哪一句你要翻书才说得顺？那个地方就是你的薄弱点，拿笔圈出来。