数学公式总库

跨学段一站式速查手册——从小学四则运算到研究生泛函分析，共 495 条核心公式 + 定理，按小节分组，每条配"它在干嘛"备注。搜索框搜名字/场景/学段，点卡片跳转原章节。

495
条公式定理
6
大学段
1
秒搜全库
小
小学
认识钱怎么算
69 条 ▼
一、四则运算定律与性质
加法交换律
a + b = b + a
两个数相加，交换加数位置，和不变。例如 3+5=5+3。
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加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
三个数相加，先加前两个或先加后两个，和不变。凑整常用。
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乘法交换律
a × b = b × a
两个数相乘，交换因数位置，积不变。
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乘法结合律
(a × b) × c = a × (b × c)
三个数相乘，先乘前两个或先乘后两个，积不变。
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乘法分配律
a × (b + c) = a × b + a × c
乘进去拆开，反过来就是提取公因数。最常用的简算依据。
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乘法分配律减法版
a × (b − c) = a × b − a × c
分配律同样适用于减法。
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减法性质
a − b − c = a − (b + c)
连续减两个数 = 减这两个数的和。
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减法性质逆用
a − (b + c) = a − b − c
去括号时括号前是减号，括号里要变号。
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除法性质
a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)
连续除以两个数 = 除以这两个数的积（b、c ≠ 0）。
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商不变性质
a ÷ b = (a × k) ÷ (b × k) = (a ÷ k) ÷ (b ÷ k)
被除数和除数同乘或同除以一个非零数，商不变。分数化简依据。
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带余除法
被除数 = 商 × 除数 + 余数
余数必须小于除数。验算除法用这条。
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运算顺序
先括号 → 再乘除 → 后加减；同级从左到右
括号最优先，乘除是二级运算，加减是一级运算。
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0 与 1 的性质
a + 0 = a；a × 0 = 0；a × 1 = a；a ÷ 1 = a
0 加谁还是谁，0 乘谁都是 0。
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倒数
a × (1/a) = 1（a ≠ 0）
乘积为 1 的两个数互为倒数。除以一个数等于乘它的倒数。
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二、分数、小数、百分数
分数基本性质
a/b = (a×k)/(b×k) = (a÷k)/(b÷k)
分子分母同乘同除一个非零数，分数大小不变。约分通分依据。
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分数加减
a/b ± c/b = (a±c)/b
同分母直接加减分子；异分母先通分。
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分数乘法
(a/b) × (c/d) = (a×c)/(b×d)
分子乘分子，分母乘分母，能约分先约分。
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分数除法
(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c)
除以一个分数 = 乘以它的倒数（c、d ≠ 0）。
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小数化百分数
0.35 = 35% = 35/100
小数点右移两位加百分号。
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百分数化小数
48% = 0.48
去掉百分号，小数点左移两位。
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折扣
折后价 = 原价 × 折数（八折 = ×0.8）
八折就是付 80%，不是减 8 块。
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成数
三成 = 30%；增产二成 = 增加 20%
农业常用「成」，一成 = 10%。
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税率
应纳税额 = 收入 × 税率
个人所得税、增值税都按这条算。
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利息
利息 = 本金 × 利率 × 存期
单利公式。复利是「利滚利」，小学一般只考单利。
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增长率
新数 = 原数 × (1 ± 增长率)
涨 5% = 在 100 基础上乘 1.05，是乘法不是加法。
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三、平面图形周长与面积
长方形周长
C = 2(a + b)
绕一圈的长度，a 长 b 宽。
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长方形面积
S = a × b
铺满一行 a 个，共 b 行。
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正方形周长
C = 4a
四条边一样长。
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正方形面积
S = a²
边长自乘。
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平行四边形面积
S = a × h
底乘高，高是垂直距离不是斜边。
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三角形面积
S = ½ × a × h
两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。
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梯形面积
S = ½ × (a + b) × h
两个梯形拼成平行四边形，上底加下底。
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菱形面积
S = ½ × d₁ × d₂
对角线乘积的一半。
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圆周长
C = 2πr = πd
π ≈ 3.14159，r 半径 d 直径。
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圆面积
S = πr²
切拼成近似长方形推导出来。
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圆环面积
S = π(R² − r²)
大圆减小圆。
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扇形面积
S = n/360 × πr²
n 是圆心角度数，占整圆的 n/360。
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四、立体图形体积与表面积
长方体体积
V = a × b × h
长 × 宽 × 高。
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长方体表面积
S = 2(ab + ah + bh)
六个面两两相等。
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正方体体积
V = a³
棱长自乘三次。
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正方体表面积
S = 6a²
六个正方形面。
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圆柱体积
V = πr² × h
底面积 × 高，柱体通用 V=Sh。
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圆柱侧面积
S侧 = 2πr × h
侧面展开是长方形。
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圆锥体积
V = ⅓ × πr² × h
等底等高的圆柱体积的三分之一。
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球体积
V = 4/3 × πr³
小学奥数会出现，初中不要求。
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容积单位
1 L = 1 dm³；1 mL = 1 cm³；1 L = 1000 mL
升和毫升是液体体积单位。
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五、单位换算
长度换算
1 km = 1000 m；1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm
相邻长度单位进率 10，千米到米是 1000。
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面积换算
1 m² = 100 dm² = 10000 cm²；1 公顷 = 10000 m²；1 km² = 100 公顷
面积进率是长度进率的平方。
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质量换算
1 t = 1000 kg；1 kg = 1000 g
吨、千克、克相邻进率 1000。
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时间换算
1 时 = 60 分；1 分 = 60 秒；1 日 = 24 时
时间是 60 进制，别当 100 算。
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人民币
1 元 = 10 角 = 100 分
购物找零必用。
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六、应用题与统计初步
平均数
x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n
总和 ÷ 个数。平均水深 1 米不代表每处都 1 米。
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单产量 × 数量
总产量 = 单产量 × 数量
工程、购物、植树都是这条模型。
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行程问题
路程 = 速度 × 时间；相遇：s = (v₁+v₂)t；追及：s = (v₁−v₂)t
相向加速，同向减速。
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工程问题
工作总量 = 效率 × 时间
通常把总工程量设为 1，效率 = 1/天数。
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比例尺
图上距离 : 实际距离 = 比例尺；实际 = 图上 ÷ 比例尺
地图 1:100000 表示图上 1 cm = 实际 1 km。
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简易方程
等式两边同加/同减/同乘/同除同一个非零数，等式仍成立
解方程的依据。
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中位数
把数据从小到大排，中间那个数（偶数个取平均）
不受极端值影响，比平均数更稳。
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众数
出现次数最多的数
可以有多个，也可以没有。
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GCD 与 LCM
gcd(a,b) × lcm(a,b) = a × b
最大公因数乘最小公倍数等于两数之积。
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奇数偶数性质
奇数 ± 奇数 = 偶数；偶数 ± 偶数 = 偶数；奇数 ± 偶数 = 奇数
判和差奇偶只看奇数个数。
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周长与面积单位
周长用长度单位（cm、m），面积用平方单位（cm²、m²）
单位不一样，不能比大小。
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正方体展开图
正方体有 11 种不同展开图，对面不相邻
动手折一折最直观。
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平移与旋转
平移：形状大小方向都不变；旋转：形状大小不变方向绕点转
图形运动两兄弟。
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轴对称
沿对称轴对折后两边完全重合
长方形 2 条、正方形 4 条、圆无数条。
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可能性
可能事件 0 < P < 1；必然事件 P=1；不可能事件 P=0
抛硬币正面朝上概率为 ½。
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鸡兔同笼
假设全是鸡：兔数 = (总脚数 − 2×总头数) ÷ 2
抬脚法/假设法经典模型。
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相遇问题
相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和
两人面对面走。
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追及问题
追及时间 = 路程差 ÷ 速度差
快的追慢的。
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初
初中
代数入门与平面几何
78 条 ▼
一、乘法公式与因式分解
平方差公式
(a + b)(a − b) = a² − b²
两数和乘两数差 = 平方相减。
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完全平方和
(a + b)² = a² + 2ab + b²
首平方尾平方，积的两倍在中央。
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完全平方差
(a − b)² = a² − 2ab + b²
中间项是减号。
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立方和公式
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
奥数常用。
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立方差公式
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
注意第二个括号中间是加号。
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完全立方和
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
系数 1、3、3、1。
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完全立方差
(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
符号正负交替。
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三项平方和
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
每个数平方加两两积的两倍。
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提公因式法
ma + mb + mc = m(a + b + c)
先找公共因数 m。
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公式法分解
a² − b² = (a+b)(a−b)；a² ± 2ab + b² = (a±b)²
把乘法公式反过来用。
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十字相乘法
x² + (p+q)x + pq = (x + p)(x + q)
拆常数项，凑一次项系数。
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分组分解法
ac + ad + bc + bd = a(c+d) + b(c+d) = (a+b)(c+d)
四项分两组，各组提公因式后再提。
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二、一元二次方程与不等式
一元二次方程一般式
ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）
二次项系数 a 不能为 0。
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求根公式
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
配方法推出来的「万能解」。
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判别式
Δ = b² − 4ac；Δ>0 两不等实根；Δ=0 两相等实根；Δ<0 无实根
判断根的个数只看 Δ 符号。
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韦达定理（根和）
x₁ + x₂ = −b/a
两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数。
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韦达定理（根积）
x₁ · x₂ = c/a
两根之积等于常数项除以二次项系数。
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直接开平方法
x² = k ⇒ x = ±√k（k ≥ 0）
缺一次项时最快。
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配方法
x² + px = (x + p/2)² − p²/4
两边加一次项系数一半的平方。
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不等式性质 1
a > b ⇔ a ± c > b ± c
两边同加同减，不等号方向不变。
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不等式性质 2
a > b，c > 0 ⇒ ac > bc
乘正数，方向不变。
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不等式性质 3
a > b，c < 0 ⇒ ac < bc
乘除负数，方向必须翻转！
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绝对值不等式
|x| < a ⇔ −a < x < a（a>0）；|x| > a ⇔ x > a 或 x < −a
小于夹中间，大于分两边。
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一元一次不等式组
同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解
数轴上画区间找公共部分。
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三、三角形与全等相似
三角形内角和
∠A + ∠B + ∠C = 180°
任意三角形三内角加起来都是平角。
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三角形外角定理
外角 = 不相邻两内角之和
外角大于任何一个不相邻内角。
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三角形三边关系
两边之和 > 第三边；两边之差 < 第三边
三条线段能不能围成三角形就看这条。
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勾股定理
a² + b² = c²（c 为斜边）
直角三角形两直角边平方和等于斜边平方。
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勾股逆定理
若 a² + b² = c²，则 △ABC 为直角三角形
用来判断一个三角形是不是直角三角形。
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中位线定理
三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半
连接两边中点的线段。
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重心性质
重心把每条中线分成 2 : 1（顶点到重心 : 重心到中点）
三条中线交点。
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全等判定 SSS
三边对应相等 ⇒ 两三角形全等
边边边。
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全等判定 SAS
两边及其夹角对应相等 ⇒ 全等
边角边，夹角很关键。
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全等判定 ASA
两角及其夹边对应相等 ⇒ 全等
角边角。
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全等判定 AAS
两角及其中一角对边对应相等 ⇒ 全等
角角边。
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直角三角形 HL
斜边和一条直角边对应相等 ⇒ 两 Rt△ 全等
只对直角三角形有效。
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相似判定
AA（两角对应相等）⇒ 相似；两边成比例且夹角相等；三边成比例
有两个角相等就够了。
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相似比性质
周长比 = 相似比；对应线段比 = 相似比；面积比 = 相似比²
面积是平方关系，别忘平方。
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角平分线定理
角平分线分对边的比 = 邻边之比
BD/DC = AB/AC。
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中线长公式
mₐ = ½√(2b² + 2c² − a²)
阿波罗尼奥斯定理。
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四、圆
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧
知二推三。
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圆心角与圆周角
同弧所对圆心角 = 2 × 圆周角
圆周角是圆心角的一半。
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直径所对圆周角
直径所对圆周角 = 90°
见直径想直角。
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切线判定
经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
连半径证垂直。
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切线性质
圆的切线垂直于过切点的半径
见切点连半径。
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切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，这点和圆心连线平分两切线夹角
PA = PB。
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弦切角定理
弦切角 = 它所夹弧所对的圆周角
切线和弦的夹角。
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相交弦定理
圆内两弦相交：PA · PB = PC · PD
交点分弦，两段乘积相等。
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切割线定理
PT² = PA · PB（PT 为切线，PAB 为割线）
切线长平方 = 割线两段乘积。
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弧长公式
l = nπr / 180
n 为圆心角度数。
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扇形面积
S = nπr² / 360 = ½ l r
l 为弧长，第二个式子像三角形面积。
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正多边形
内角和 = (n−2)·180°；每个内角 = (n−2)·180°/n；外角和 = 360°
外角和恒为 360°。
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五、锐角三角函数与解直角三角形
正弦定义
sin A = 对边 / 斜边 = a / c
Rt△中。
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余弦定义
cos A = 邻边 / 斜边 = b / c
Rt△中。
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正切定义
tan A = 对边 / 邻边 = a / b
Rt△中。
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特殊角 30°
sin30°=½；cos30°=√3/2；tan30°=√3/3
必背。
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特殊角 45°
sin45°=√2/2；cos45°=√2/2；tan45°=1
等腰直角三角形。
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特殊角 60°
sin60°=√3/2；cos60°=½；tan60°=√3
与 30° 互为余角。
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同角关系
sin²A + cos²A = 1；tan A = sin A / cos A
两个最常用恒等式。
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互余关系
sin(90°−A) = cos A；cos(90°−A) = sin A
余角互换。
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解直角三角形
已知两个元素（至少一边）求其余元素
勾股 + 三角 + 内角和三件套。
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六、函数
正比例函数
y = kx（k ≠ 0）
过原点的直线，k>0 过一三象限。
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一次函数
y = kx + b（k ≠ 0）
k 斜率，b 截距。k>0 递增，k<0 递减。
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反比例函数
y = k / x（k ≠ 0）
双曲线，关于原点对称。
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二次函数一般式
y = ax² + bx + c（a ≠ 0）
抛物线。a>0 开口向上，a<0 向下。
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二次函数顶点
顶点 (−b/2a, (4ac−b²)/4a)；对称轴 x = −b/2a
最值在顶点。
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二次函数零点式
y = a(x − x₁)(x − x₂)
已知两根时用。
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二次函数顶点式
y = a(x − h)² + k
顶点 (h, k)。
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七、统计与概率
方差
s² = [(x₁−x̄)² + … + (xₙ−x̄)²] / n
衡量数据波动大小，越大越不稳。
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标准差
s = √s²
与原数据同单位。
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频率
频率 = 频数 / 总数；所有频率之和 = 1
频数是次数，频率是比例。
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古典概型
P(A) = 事件 A 包含的基本事件数 / 总基本事件数
等可能时用。
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列表法 / 树状图
两步或两步以上试验列举所有等可能结果
不重不漏。
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中位数与众数
中位数：排序后中间值；众数：出现次数最多
描述集中趋势。
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频数分布直方图
小长方形面积 = 频数，所有面积之和 = 总数
横轴分组，纵轴频数。
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概率稳定性
大量重复试验时，频率稳定在概率附近
大数定律的小学版描述。
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极差
极差 = 最大值 − 最小值
最简单的波动度量。
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样本估计总体
用样本平均数、方差估计总体
抽样调查思想。
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高
高中
函数、导数与解析几何
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一、集合与逻辑
交集
A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}
两个集合的公共部分。
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并集
A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}
两个集合合起来。
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补集
∁ᵤA = {x | x ∈ U 且 x ∉ A}
全集 U 中去掉 A。
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子集个数
n 元集合子集共 2ⁿ 个；真子集 2ⁿ−1 个；非空真子集 2ⁿ−2 个
每个元素有「在/不在」两种选择。
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充分条件
p ⇒ q，则 p 是 q 的充分条件
有它就行。
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必要条件
p ⇒ q，则 q 是 p 的必要条件
没它不行。
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充要条件
p ⇔ q
互推成立。
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德摩根律
∁ᵤ(A ∪ B) = (∁ᵤA) ∩ (∁ᵤB)；∁ᵤ(A ∩ B) = (∁ᵤA) ∪ (∁ᵤB)
补的并 = 交的补；补的交 = 并的补。
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二、不等式
基本不等式
a + b ≥ 2√(ab)（a,b > 0），当且仅当 a=b 取等
和定积最大，积定和最小。
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基本不等式变形
ab ≤ ((a+b)/2)²；a² + b² ≥ 2ab
均值不等式的常用形式。
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柯西不等式
(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²
向量 |m|·|n| ≥ |m·n| 的代数版。
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三角不等式
||a| − |b|| ≤ |a ± b| ≤ |a| + |b|
三角形两边之和大于第三边。
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一元二次不等式
ax² + bx + c > 0（a>0）：Δ<0 恒成立；Δ=0 取两根之外；Δ>0 取两根之外
大于取两边，小于取中间。
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均值链
H ≤ G ≤ A ≤ Q（调和 ≤ 几何 ≤ 算术 ≤ 平方平均）
H=2/(1/a+1/b)，G=√ab，A=(a+b)/2，Q=√((a²+b²)/2)。
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绝对值不等式解法
|ax+b| < c ⇔ −c < ax+b < c；|ax+b| > c ⇔ ax+b > c 或 ax+b < −c
小于夹中间，大于分两边。
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三、函数性质
函数三要素
定义域、值域、对应关系
判断两函数相同看三要素。
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单调性定义
∀x₁f(x₂) 则单调递减
任取两个比大小。
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偶函数
f(−x) = f(x)，图像关于 y 轴对称
定义域关于原点对称是前提。
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奇函数
f(−x) = −f(x)，图像关于原点对称；若 0 在定义域内则 f(0)=0
奇函数过原点。
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对称性
f(a+x) = f(a−x) ⇒ 图像关于 x=a 对称
函数轴对称公式。
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周期性
f(x+T) = f(x)，T 为周期
最常见 T=2π 的三角函数。
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复合函数
同增异减：内外层单调性相同则增，相反则减
y=f(g(x))。
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平移变换
左加右减（x 方向），上加下减（y 方向）
y=f(x)→y=f(x+h)+k 向左移 h，向上移 k。
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四、指数与对数
指数幂运算
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ；(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ；(ab)ⁿ = aⁿbⁿ
底数不变指数加减。
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负指数
a⁻ⁿ = 1/aⁿ（a ≠ 0）
负指数等于倒数。
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分数指数
a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)（a ≥ 0）
开方与乘方互换。
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对数定义
aˣ = N ⇔ x = logₐN（a>0, a≠1, N>0）
对数就是指数的反函数。
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积的对数
logₐ(MN) = logₐM + logₐN
乘变加。
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商的对数
logₐ(M/N) = logₐM − logₐN
除变减。
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幂的对数
logₐMⁿ = n logₐM
n 提到前面。
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换底公式
logₐb = log_c b / log_c a
换成常用对数或自然对数。
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对数恒等式
a^(logₐN) = N
对数和指数互抵。
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反函数
y=aˣ 与 y=logₐx 互为反函数，图像关于 y=x 对称
定义域值域互换。
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五、导数
幂函数导数
(xⁿ)′ = n xⁿ⁻¹
最常用求导公式。
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正弦导数
(sin x)′ = cos x
正变余。
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余弦导数
(cos x)′ = −sin x
余变正，前面加负号。
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指数导数
(eˣ)′ = eˣ
自我复制。
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一般指数导数
(aˣ)′ = aˣ ln a
a=e 时 ln a=0 项消失。
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自然对数导数
(ln x)′ = 1/x
x>0。
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一般对数导数
(logₐx)′ = 1 / (x ln a)
由换底公式推。
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常数导数
(C)′ = 0
常数不随 x 变。
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和差求导
(u ± v)′ = u′ ± v′
逐项求导。
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乘法求导
(uv)′ = u′v + uv′
前导后不导 + 前不导后导。
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除法求导
(u/v)′ = (u′v − uv′) / v²
分子上导下不导减下导上不导。
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链式法则
[f(g(x))]′ = f′(g(x)) · g′(x)
一层一层剥洋葱。
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切线方程
y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀)
导数 = 切线斜率。
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极值判定
f′(x₀)=0 且左右 f′ 变号 ⇒ 极值点；左正右负极大，左负右正极小
先找驻点再判号。
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洛必达法则
0/0 或 ∞/∞ 型：lim f/g = lim f′/g′
分子分母分别求导再求极限。
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六、三角函数
同角平方关系
sin²α + cos²α = 1
单位圆上的勾股。
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商数关系
tan α = sin α / cos α
cos α ≠ 0。
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诱导公式
奇变偶不变，符号看象限
k·π/2 ± α，k 奇变名偶不变名。
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正弦和角
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
展开记忆。
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余弦和角
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
注意符号是反的。
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正切和角
tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α tan β
上同下反。
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二倍角正弦
sin 2α = 2 sin α cos α
最简洁的二倍角。
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二倍角余弦
cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1
三种形式按需要选用。
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二倍角正切
tan 2α = 2 tan α / (1 − tan²α)
由和角公式推。
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降幂公式
sin²α = (1−cos2α)/2；cos²α = (1+cos2α)/2
高次化低次。
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辅助角公式
a sin x + b cos x = √(a²+b²) sin(x + φ)，tan φ = b/a
化单一三角函数求最值。
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正弦定理
a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
R 为外接圆半径。
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余弦定理
c² = a² + b² − 2ab cos C
已知两边夹角求第三边。
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三角形面积
S = ½ ab sin C = abc/(4R) = ½(a+b+c)r
r 为内切圆半径。
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七、数列
等差数列通项
aₙ = a₁ + (n − 1)d
d 公差。
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等差求和
Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = na₁ + n(n−1)d/2
首末平均乘项数。
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等差中项
2A = a + b
三个数成等差。
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等比数列通项
aₙ = a₁ qⁿ⁻¹
q 公比，q ≠ 0。
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等比求和
Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q)（q ≠ 1）；q=1 时 Sₙ = na₁
q=1 是常数列。
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等比中项
G² = ab（a,b 同号）
G = ±√(ab)。
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裂项相消
1/[n(n+1)] = 1/n − 1/(n+1)
求和时中间项全消掉。
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错位相减
等差 × 等比型数列求和用
Sn 与 qSn 相减。
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1 到 n 和
1 + 2 + … + n = n(n+1)/2
高斯公式。
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平方和
1² + 2² + … + n² = n(n+1)(2n+1)/6
必背公式。
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立方和
1³ + 2³ + … + n³ = [n(n+1)/2]²
等于和的平方。
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八、平面向量
向量模长
|a⃗| = √(x² + y²)
坐标求长度。
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数量积定义
a⃗ · b⃗ = |a⃗||b⃗|cos θ
结果是数不是向量。
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数量积坐标
a⃗ · b⃗ = x₁x₂ + y₁y₂
对应坐标相乘再相加。
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夹角公式
cos θ = (a⃗ · b⃗) / (|a⃗||b⃗|)
求两个向量夹角。
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垂直条件
a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ a⃗ · b⃗ = 0
数量积为零。
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平行条件
a⃗ ∥ b⃗ ⇔ x₁y₂ − x₂y₁ = 0
坐标交叉相乘差为零。
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定比分点
P 分 P₁P₂ 成 λ:1，则 P = ((x₁+λx₂)/(1+λ), (y₁+λy₂)/(1+λ))
λ = P₁P/PP₂。
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三角形重心
G = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)
三个顶点坐标平均。
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九、立体几何
柱体体积
V = S底 · h
棱柱圆柱都适用。
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锥体体积
V = ⅓ S底 · h
棱锥圆锥都适用。
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球体积
V = 4/3 πR³
R 半径。
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球表面积
S = 4πR²
恰好等于同半径圆柱侧面积。
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圆柱侧面积
S侧 = 2πrh
展开是长方形。
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圆锥侧面积
S侧 = πrl
l 母线长。
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线面平行判定
平面外一条直线与平面内一条直线平行 ⇒ 线面平行
找线线平行。
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线面垂直判定
一条直线与平面内两条相交直线都垂直 ⇒ 线面垂直
必须是相交直线。
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面面垂直判定
一个平面过另一个平面的一条垂线 ⇒ 面面垂直
找线面垂直。
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空间向量求角
线线角 cosθ = |m·n|/(|m||n|)；二面角看方向取锐角或钝角
用法向量。
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十、解析几何
点斜式
y − y₀ = k(x − x₀)
已知一点和斜率。
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斜截式
y = kx + b
b 是 y 轴截距。
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一般式
Ax + By + C = 0
斜率 k = −A/B。
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点到直线距离
d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
绝对值不能忘。
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两平行线距离
d = |C₁ − C₂| / √(A² + B²)
先把 A、B 化相同。
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圆标准方程
(x − a)² + (y − b)² = r²
圆心 (a,b)，半径 r。
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椭圆
x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0），c² = a² − b²
焦点在 x 轴上。离心率 e = c/a < 1。
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双曲线
x²/a² − y²/b² = 1，c² = a² + b²
渐近线 y = ±(b/a)x。e > 1。
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抛物线
y² = 2px（p > 0），焦点 (p/2, 0)，准线 x = −p/2
到焦点距离 = 到准线距离。
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弦长公式
|AB| = √(1 + k²) · |x₁ − x₂|
联立方程后用韦达。
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十一、计数原理与二项式
排列数
A(n,m) = n! / (n − m)!
考虑顺序。
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组合数
C(n,m) = n! / [m!(n − m)!]
不考虑顺序。
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组合对称
C(n,m) = C(n, n−m)
选 m 个等于不选 n−m 个。
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组合递推
C(n+1, m) = C(n, m) + C(n, m−1)
杨辉三角。
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二项式定理
(a + b)ⁿ = Σ C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ（k=0..n）
展开式系数就是杨辉三角第 n 行。
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通项公式
Tₖ₊₁ = C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ
求指定项用这条。
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十二、概率统计
古典概型
P(A) = 事件 A 基本事件数 / 总基本事件数
等可能。
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条件概率
P(B|A) = P(AB) / P(A)
在 A 发生条件下 B 发生的概率。
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乘法公式
P(AB) = P(A) · P(B|A)
两步同时发生。
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全概率公式
P(B) = Σ P(Aᵢ) P(B|Aᵢ)
把样本空间分块。
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贝叶斯公式
P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ)P(B|Aᵢ) / Σⱼ P(Aⱼ)P(B|Aⱼ)
由果溯因。
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独立性
A、B 独立 ⇔ P(AB) = P(A)P(B)
互不影响。
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期望
E(X) = Σ xᵢ pᵢ
加权平均。
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方差
D(X) = E(X²) − [E(X)]²
等价于 Σ(xᵢ − EX)²pᵢ。
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二项分布
X ~ B(n,p)，E(X) = np，D(X) = np(1−p)
n 次独立伯努利试验。
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正态分布
f(x) = 1/(√(2π)σ) · e^(−(x−μ)²/(2σ²))
μ 均值，σ 标准差。3σ 原则：99.7% 数据落在 μ±3σ。
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独立性检验
K² = n(ad−bc)² / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]
K² 越大越相关。
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十三、复数
复数定义
z = a + bi（i² = −1）
a 实部，b 虚部。
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复数模
|z| = √(a² + b²)
复平面上到原点距离。
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共轭复数
z̄ = a − bi
虚部变号。
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复数乘法
z · z̄ = |z|² = a² + b²
乘共轭变实数。
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复数相等
a + bi = c + di ⇔ a=c 且 b=d
实部虚部分别相等。
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复数除法
(a+bi)/(c+di) = [(a+bi)(c−di)]/(c²+d²)
分母实数化，乘共轭。
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复数模三角不等式
|z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|；||z₁| − |z₂|| ≤ |z₁ − z₂|
复平面上的三角形。
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棣莫弗公式
(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ
乘方展开。
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奥
奥数
数论组合与几何定理
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一、数论
整除性质
若 a|b 且 a|c，则 a|(b±c)；若 a|b，则 a|(bc)
整除的线性组合仍整除。
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带余除法
a = bq + r（0 ≤ r < b）
唯一分解，r 为余数。
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奇偶分析
奇数 ± 奇数 = 偶数；奇数 × 奇数 = 奇数；偶数乘任何数都是偶数
奇偶性是最常用的不变量。
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唯一分解定理
n = p₁^α₁ · p₂^α₂ · … · pₖ^αₖ
算术基本定理，质数分解唯一。
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约数个数
d(n) = (α₁+1)(α₂+1)…(αₖ+1)
每个质数指数 0..αᵢ 都可选。
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约数和
σ(n) = Π (pᵢ^(αᵢ+1) − 1)/(pᵢ − 1)
等比数列求和。
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欧几里得算法
gcd(a,b) = gcd(b, a mod b)
辗转相除。
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lcm 与 gcd
lcm(a,b) = ab / gcd(a,b)
两数乘积等于最大公约数乘最小公倍数。
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同余定义
a ≡ b (mod m) ⇔ m | (a − b)
除以 m 余数相同。
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同余性质
a≡b, c≡d ⇒ a±c≡b±d, ac≡bd (mod m)
同余可以加减乘。
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费马小定理
若 p 为质数，p ∤ a，则 a^(p−1) ≡ 1 (mod p)
简化大指数模运算。
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欧拉定理
若 gcd(a,m)=1，则 a^φ(m) ≡ 1 (mod m)
φ(m) 为欧拉函数。
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威尔逊定理
p 为质数 ⇔ (p−1)! ≡ −1 (mod p)
判断质数的充要条件。
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n! 末尾零
末尾零个数 = Σ ⌊n/5^k⌋（k=1,2,…）
由因子 5 的个数决定（2 比 5 多）。
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平方数末位
平方数末位只能是 0,1,4,5,6,9，不可能是 2,3,7,8
末位排除法。
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中国剩余定理
两两互质模数下，同余方程组在 mod M 下有唯一解
韩信点兵。
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二、组合
鸽巢原理
n+1 只鸽子飞进 n 个巢，至少有一个巢 ≥ 2 只
最朴素的存在性证明。
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加强鸽巢
n 只鸽子飞进 k 个巢，至少有一个巢 ≥ ⌈n/k⌉ 只
向上取整。
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容斥原理（两集合）
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
加了再减重复。
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容斥原理（三集合）
|A∪B∪C| = Σ|A| − Σ|A∩B| + |A∩B∩C|
奇加偶减。
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加法原理
分类完成：N = m₁ + m₂ + … + mₖ
每类都能独立完成。
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乘法原理
分步完成：N = m₁ × m₂ × … × mₖ
每步只完成一部分。
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隔板法
n 个相同球分给 k 个不同盒（每盒 ≥1）：C(n−1, k−1)
插 k−1 块板。
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错位排列
!n = n![1 − 1/1! + 1/2! − … + (−1)ⁿ/n!
n 封信全部装错信封。
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斐波那契数列
Fₙ₊₂ = Fₙ₊₁ + Fₙ，F₁=F₂=1
爬楼梯、兔子繁殖。
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卡特兰数
Cₙ = C(2n, n) / (n+1)
括号匹配、凸多边形三角剖分。
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生成函数
普通生成函数 F(x) = Σ aₙ xⁿ
把数列变成多项式处理。
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染色问题
环形 n 色染色：(k−1)ⁿ + (−1)ⁿ(k−1)
相邻不同色。
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三、几何定理
梅涅劳斯定理
(AF/FB)·(BD/DC)·(CE/EA) = 1
三点共线的充要条件（有向线段）。
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塞瓦定理
(AF/FB)·(BD/DC)·(CE/EA) = 1
三线共点的充要条件。
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托勒密不等式
对四边形 ABCD：AC·BD ≤ AB·CD + AD·BC
圆内接四边形取等号。
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欧拉线
△外心 O、重心 G、垂心 H 共线，且 OG:GH = 1:2
欧拉线长度关系。
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九点圆
三角形三边中点、三高垂足、顶点到垂心中点，九点共圆
圆心在欧拉线上。
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斯特瓦尔特定理
△ABC 中 D 在 BC 上：AB²·DC + AC²·BD = BC·(AD² + BD·DC)
求线段长的通用公式。
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海伦公式
S = √[p(p−a)(p−b)(p−c)]，p = (a+b+c)/2
已知三边求面积。
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鞋带公式
S = ½ |Σ (xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)|
任意多边形顶点坐标求面积。
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角平分线定理
BD/DC = AB/AC
内角平分线分对边成邻边比。
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中线长公式
mₐ = ½√(2b² + 2c² − a²)
阿波罗尼奥斯定理。
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西姆松定理
P 在 △ABC 外接圆上 ⇔ P 到三边垂足共线
西姆松线。
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费马点
△ABC 内到三顶点距离和最小的点，满足两两夹角 120°
三内角都 < 120° 时。
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四、不等式
均值不等式链
H ≤ G ≤ A ≤ Q，当且仅当 a=b=c 取等
调和 ≤ 几何 ≤ 算术 ≤ 平方。
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柯西不等式
(Σaᵢ²)(Σbᵢ²) ≥ (Σaᵢbᵢ)²
等号当 aᵢ/bᵢ 成比例。
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排序不等式
顺序和 ≥ 乱序和 ≥ 逆序和
两列同序乘积和最大。
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琴生不等式
f 为凸函数：f(Σλᵢxᵢ) ≤ Σλᵢf(xᵢ)
加权平均的函数值 ≤ 函数值的加权平均。
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切比雪夫不等式
(Σaᵢ)(Σbᵢ) ≤ n Σ aᵢbᵢ（同序时）
排序不等式推论。
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伯努利不等式
(1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx（x > −1, n ≥ 1）
n 为整数。
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绝对值不等式
|a₁ + a₂ + … + aₙ| ≤ |a₁| + |a₂| + … + |aₙ|
三角不等式推广。
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幂平均不等式
Mᵣ = [(Σaᵢʳ)/n]^(1/r)，r 越大 Mᵣ 越大
均值不等式的一般形式。
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五、函数方程与求和技巧
柯西方程
f(x+y) = f(x) + f(y)，连续解 f(x) = cx
最经典的函数方程。
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赋值法
令 x=0, y=0, y=x, y=−x 等特殊值推性质
函数方程最常用技巧。
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构造法
构造 f(x) − g(x) 证明等式或不等式
把陌生问题化成熟悉模型。
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阿贝尔求和
Σ aᵢbᵢ = Aₙbₙ + Σ Aᵢ(bᵢ − bᵢ₊₁)
分部求和的离散版。
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裂项求和
1/[n(n+k)] = (1/k)(1/n − 1/(n+k))
推广裂项。
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倒序相加
Sₙ + Sₙ 配对 = 每对和相同
高斯算 1+2+…+n 的方法。
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错位相减
等差 × 等比型：Sn − qSn = 差
等比数列求和的推广。
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费马小定理推广
aᵖ ≡ a (mod p)，p 质数
不取 gcd 条件也成立。
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欧拉函数
φ(n) = n Π(1 − 1/p)（p 为 n 的不同质因数）
1..n 中与 n 互质的数个数。
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平方和公式变形
Σ(2k−1)² = n(4n²−1)/3
前 n 个奇数平方和。
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三元均值不等式
(a+b+c)/3 ≥ ³√(abc)，a,b,c > 0
三个正数的均值。
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本
本科
微积分线代概率
93 条 ▼
一、极限与连续
数列极限定义
lim xₙ = a ⇔ ∀ε>0, ∃N, 当 n>N 时 |xₙ−a|<ε
ε-N 语言。
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函数极限定义
lim_{x→x₀} f(x) = A ⇔ ∀ε>0, ∃δ>0, 0<|x−x₀|<δ 时 |f(x)−A|<ε
ε-δ 语言。
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重要极限 1
lim_{x→0} sin x / x = 1
弧度制下。
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重要极限 2
lim_{x→∞} (1 + 1/x)ˣ = e；lim_{x→0}(1+x)^(1/x)=e
e ≈ 2.71828。
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等价无穷小（x→0）
sin x ~ x；tan x ~ x；ln(1+x) ~ x；eˣ−1 ~ x；1−cos x ~ x²/2；(1+x)^α−1 ~ αx
乘除可替换，加减慎用。
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夹逼准则
g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，且 lim g = lim h = A ⇒ lim f = A
两边夹住。
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单调有界准则
单调有界数列必有极限
证明递推数列收敛。
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洛必达法则
0/0 或 ∞/∞：lim f/g = lim f′/g′
可多次使用。
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连续定义
lim_{x→x₀} f(x) = f(x₀)
极限值 = 函数值。
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第一类间断点
左右极限都存在：可去间断（相等）、跳跃间断（不等）
可修。
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第二类间断点
左右极限至少一个不存在：无穷间断、振荡间断
不可修。
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零点定理
f 在 [a,b] 连续，f(a)·f(b) < 0 ⇒ ∃ξ∈(a,b)，f(ξ)=0
连续曲线穿 x 轴。
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介值定理
f 在 [a,b] 连续，f(a)=A, f(b)=B，则 A、B 间任一值都能取到
零点定理推广。
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最值定理
闭区间上连续函数必有最大值和最小值
开区间不一定。
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二、导数与中值定理
导数定义
f′(x₀) = lim_{Δx→0} [f(x₀+Δx) − f(x₀)] / Δx
瞬时变化率。
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左右导数
f′₋(x₀) 与 f′₊(x₀) 都存在且相等 ⇔ f′(x₀) 存在
分段点必查。
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费马引理
f 在 x₀ 可导且取极值 ⇒ f′(x₀) = 0
极值点导数为零。
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罗尔定理
f 在 [a,b] 连续、(a,b) 可导、f(a)=f(b) ⇒ ∃ξ, f′(ξ)=0
水平切线。
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拉格朗日中值定理
f(b) − f(a) = f′(ξ)(b − a)
割线斜率 = 某点切线斜率。
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柯西中值定理
[f(b)−f(a)]/[g(b)−g(a)] = f′(ξ)/g′(ξ)
参数曲线版。
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泰勒公式
f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x−a)ⁿ + Rₙ
多项式逼近。
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麦克劳林展开（eˣ）
eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
a=0 的泰勒。
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麦克劳林展开（sin x）
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …
奇函数只有奇次项。
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麦克劳林展开（cos x）
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
偶函数只有偶次项。
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麦克劳林展开（ln(1+x)）
ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 − …（−1
交错级数。
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麦克劳林展开（(1+x)^α）
(1+x)^α = 1 + αx + α(α−1)/2! · x² + …
二项式级数。
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三、一元积分学
不定积分定义
∫ f(x) dx = F(x) + C，F′(x) = f(x)
导数逆运算，常数 C 不能漏。
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基本积分表
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C（n≠−1）；∫ 1/x dx = ln|x| + C
幂函数积分。
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三角积分
∫ sin x dx = −cos x + C；∫ cos x dx = sin x + C；∫ sec²x dx = tan x + C
求导反着背。
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指数积分
∫ eˣ dx = eˣ + C；∫ aˣ dx = aˣ/ln a + C
自我复制。
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定积分定义
∫ₐᵇ f(x) dx = lim Σ f(ξᵢ) Δxᵢ
黎曼和的极限。
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牛顿-莱布尼茨公式
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)，F′=f
积分与导数互逆的桥梁。
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换元积分法（第一类）
∫ f(φ(x))φ′(x) dx = ∫ f(u) du
凑微分。
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换元积分法（第二类）
∫ f(x) dx，令 x=φ(t)，dx=φ′(t)dt
三角代换 √(a²−x²) 令 x=a sin t。
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分部积分
∫ u dv = uv − ∫ v du
反对幂三指，按顺序选 u。
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奇偶函数积分
对称区间 [−a,a]：奇函数积分=0；偶函数积分=2∫₀ᵃ
先看奇偶再算。
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无穷限反常积分
∫ₐ^∞ f(x) dx = lim_{b→∞} ∫ₐᵇ f(x) dx
收敛发散看极限。
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瑕积分
瑕点处函数无界，取极限跳过瑕点
1/xᵖ 在 0 点的敛散性。
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华里士公式
∫₀^(π/2) sinⁿx dx = ∫₀^(π/2) cosⁿx dx
偶次乘 π/2，奇次连乘分数。
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四、多元微积分
偏导数
∂z/∂x = lim_{Δx→0} [f(x+Δx,y) − f(x,y)]/Δx
对 x 求导时 y 当常数。
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全微分
dz = (∂z/∂x) dx + (∂z/∂y) dy
线性主部。
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多元链式法则
z=f(u,v)，u=u(x,y), v=v(x,y)：∂z/∂x = fᵤuₓ + fᵥvₓ
按路径求导。
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方向导数
∂f/∂l = fₓ cos α + fᵧ cos β
沿方向 l 的变化率。
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梯度
grad f = (fₓ, fᵧ)，方向导数最大值 = |grad f|
梯度方向是上升最快方向。
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多元极值判别
AC − B²：>0 有极值（A>0 极小）；<0 无极值；=0 不定
A=fₓₓ, B=fₓᵧ, C=fᵧᵧ。
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拉格朗日乘数法
∇f = λ∇g，即解方程组 fₓ=λgₓ, fᵧ=λgᵧ, g(x,y)=0
约束 g 下求 f 极值。
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二重积分
∬_D f(x,y) dxdy = lim Σ f(ξᵢ,ηᵢ) Δσᵢ
曲顶柱体体积。
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格林公式
∮_L P dx + Q dy = ∬_D (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dxdy
闭合曲线积分转二重积分。
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高斯公式
∯_Σ P dydz + Q dzdx + R dxdy = ∭_Ω (∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z) dV
散度定理。
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斯托克斯公式
∮_Γ P dx+Q dy+R dz = ∬_Σ |...| dxdy...
旋度定理，格林公式的三维版。
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五、微分方程
可分离变量
dy/dx = f(x)g(y) ⇒ ∫ dy/g(y) = ∫ f(x) dx
两边分别积分。
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齐次方程
dy/dx = φ(y/x)，令 u=y/x，化为可分离变量
y = ux, dy = u dx + x du。
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一阶线性方程
y′ + P(x)y = Q(x)，通解 y = e^(−∫P dx) [∫ Q e^(∫P dx) dx + C]
常数变易法。
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伯努利方程
y′ + P(x)y = Q(x)yⁿ，令 z = y^(1−n) 化为一阶线性
n ≠ 0,1。
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二阶常系数齐次
y″ + py′ + qy = 0，特征方程 r² + pr + q = 0
Δ>0 通解 C₁e^(r₁x)+C₂e^(r₂x)；Δ=0 为 (C₁+C₂x)e^(rx)；Δ<0 为 e^(αx)(C₁cosβx+C₂sinβx)。
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二阶常系数非齐次
y″ + py′ + qy = f(x)，通解 = 齐次通解 + 特解 y*
f(x)=e^(λx)Pₘ(x) 时设 y*=xᵏQₘ(x)e^(λx)。
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六、线性代数
行列式性质
行列式转置值不变；互换两行变号；某行公因子可提出
行列式是数。
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按行展开
|A| = Σ aᵢⱼ Aᵢⱼ（j 固定），Aᵢⱼ = (−1)^(i+j) Mᵢⱼ
代数余子式。
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矩阵乘法
(AB)ᵢⱼ = Σₖ Aᵢₖ Bₖⱼ
A 的列数必须等于 B 的行数。
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逆矩阵
AA⁻¹ = A⁻¹A = E；A⁻¹ = adj(A)/|A|
|A| ≠ 0 时存在。
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矩阵秩
r(A) = 最高阶非零子式的阶数
初等变换不改变秩。
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线性方程组解
Ax=b：r(A)=r(A|b)=n 唯一解；=r
n 为未知数个数。
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克拉默法则
xᵢ = |Aᵢ|/|A|（|A| ≠ 0）
n 个方程 n 个未知数。
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特征方程
det(A − λE) = 0
求特征值 λ。
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特征向量
(A − λE)x = 0 的非零解 x
对应 λ。
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相似对角化
A ~ Λ = diag(λ₁,…,λₙ) ⇔ A 有 n 个线性无关特征向量
实对称矩阵一定可对角化。
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二次型
f = xᵀAx，A 为实对称矩阵
正交变换化标准形。
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七、概率论
加法公式
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB)
一般加法。
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乘法公式
P(AB) = P(A)P(B|A)
条件概率变形。
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全概率公式
P(B) = Σ P(Aᵢ)P(B|Aᵢ)
划分样本空间。
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贝叶斯公式
P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ)P(B|Aᵢ) / Σⱼ P(Aⱼ)P(B|Aⱼ)
由果溯因。
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分布函数
F(x) = P(X ≤ x)，非降、右连续、F(−∞)=0, F(+∞)=1
通用描述。
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密度函数
f(x) ≥ 0，∫ f(x) dx = 1，P(a
连续型。
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泊松分布
P(X=k) = λᵏ e^(−λ) / k!，E(X)=λ，D(X)=λ
单位时间稀有事件次数。
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均匀分布
X ~ U(a,b)：f(x)=1/(b−a)，E=(a+b)/2，D=(b−a)²/12
等可能。
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指数分布
f(x) = λe^(−λx)（x>0），E=1/λ，D=1/λ²
无记忆性。
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正态分布
X ~ N(μ,σ²)，标准化 Z=(X−μ)/σ ~ N(0,1)
最常见分布。
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期望性质
E(aX+bY) = aE(X) + bE(Y)
线性性。
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方差
D(X) = E(X²) − [E(X)]² = E[(X−EX)²]
平方波动。
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协方差
Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y)
X、Y 同向变化程度。
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相关系数
ρ = Cov(X,Y) / (√D(X)√D(Y))，|ρ| ≤ 1
ρ=0 不相关。
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切比雪夫不等式
P(|X − μ| ≥ ε) ≤ σ²/ε²
不需要知道分布。
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大数定律
n→∞ 时样本均值依概率收敛于期望
频率稳定于概率。
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中心极限定理
n 个独立同分布变量之和近似正态
n 很大时用正态近似。
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八、离散数学
命题逻辑
p→q ⇔ ¬p ∨ q；德摩根 ¬(p∧q) ⇔ ¬p∨¬q
蕴含式等价。
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集合运算
A − B = A ∩ ∁B；对称差 A△B = (A−B)∪(B−A)
集合代数。
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关系性质
自反、对称、反对称、传递
等价关系 = 自反+对称+传递。
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握手定理
Σ deg(v) = 2|E|
所有顶点度数和 = 边数两倍。
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树
n 个顶点的树有 n−1 条边，连通无回路
最小连通图。
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欧拉回路
连通图存在欧拉回路 ⇔ 所有顶点度数为偶数
一笔画。
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哈密顿回路
经过每个顶点恰好一次的回路
判定是 NP 完全问题。
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树的性质
n 个顶点树恰好 n−1 条边，且任意两点间唯一路径
最小连通图。
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命题等价
p→q ⇔ ¬q→¬p（逆否命题）
原命题与逆否命题同真同假。
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研
研究生
实分析复变泛函
70 条 ▼
一、实分析
σ-代数
Ω 的子集族 ℱ 满足：① Ω∈ℱ；② 对补封闭；③ 对可列并封闭
测度的定义域。
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测度
μ: ℱ→[0,∞]，μ(∅)=0，可列可加 μ(∪Aᵢ)=Σμ(Aᵢ)
长度面积的推广。
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勒贝格积分
∫ f dμ = lim ∫ sₙ dμ（sₙ 为简单函数递增列）
比分段黎曼更广。
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单调收敛定理
0 ≤ fₙ ↑ f ⇒ ∫ fₙ ↑ ∫ f
莱维定理，极限与积分可交换。
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法图引理
∫ liminf fₙ ≤ liminf ∫ fₙ
单边不等式。
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控制收敛定理
|fₙ| ≤ g 可积，fₙ → f a.e. ⇒ ∫ fₙ → ∫ f
勒贝格控制收敛，最重要。
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Lp 空间
Lᵖ = {f: ∫|f|ᵖ < ∞}，范数 ||f||ₚ = (∫|f|ᵖ)^(1/p)
p=2 是希尔伯特空间。
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度量空间
距离 d(x,y) 满足：非负、对称、三角不等式
抽象距离。
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柯西列
∀ε>0, ∃N, m,n>N 时 d(xₘ,xₙ)<ε
收敛列必柯西，反之需完备。
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巴拿赫空间
完备的赋范线性空间
范数导出度量下柯西列都收敛。
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希尔伯特空间
完备的内积空间
内积导出范数，有正交分解。
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二、复变函数
柯西-黎曼方程
∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = −∂v/∂x
f=u+iv 解析的必要条件。
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柯西积分定理
f 在单连通区域解析 ⇒ ∮_C f(z) dz = 0
闭合回路积分为零。
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柯西积分公式
f(z₀) = 1/(2πi) ∮_C f(z)/(z−z₀) dz
解析函数值由边界决定。
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高阶导数公式
f⁽ⁿ⁾(z₀) = n!/(2πi) ∮ f(z)/(z−z₀)^(n+1) dz
解析函数任意阶可导。
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洛朗展开
f(z) = Σ cₙ (z−z₀)ⁿ（n=−∞..∞）
正负幂都有。
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孤立奇点分类
可去奇点（主部无）、极点（主部有限项）、本性奇点（主部无穷项）
看洛朗展开负幂项。
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留数定理
∮_C f(z) dz = 2πi · Σ Res(f, zₖ)
闭合回路积分 = 留数和乘 2πi。
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留数计算（一阶极点）
Res(f, z₀) = lim_{z→z₀} (z−z₀)f(z)
一阶极点公式。
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共形映射
解析函数 f′(z₀) ≠ 0 处保角保伸缩
分式线性变换 w=(az+b)/(cz+d)。
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辐角原理
N − P = 1/(2π) Δ꜀ arg f(z)
零点数减极点数 = 辐角变化。
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三、泛函分析
巴拿赫不动点定理
压缩映射 T 在完备度量空间有唯一不动点 x*=lim Tⁿx₀
压缩映射原理，迭代收敛。
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汉恩-巴拿赫定理
子空间上的有界线性泛函可保范延拓到全空间
泛函延拓基石。
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一致有界原理
一族点态有界的有界线性算子必一致有界
共鸣定理。
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闭图像定理
闭线性算子在巴拿赫空间间必连续
图像闭 ⇒ 连续。
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谱定理
自伴算子的谱为实数，存在正交基由特征向量组成
有限维对称矩阵对角化推广。
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紧算子
把有界集映为相对紧集的算子
单位算子不是紧算子（无穷维）。
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四、数值分析
拉格朗日插值
L(x) = Σ yᵢ lᵢ(x)，lᵢ(x) = Πⱼ≠ᵢ (x−xⱼ)/(xᵢ−xⱼ)
基函数 lᵢ(xⱼ)=δᵢⱼ。
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牛顿插值
N(x) = f[x₀] + f[x₀,x₁](x−x₀) + … + f[x₀..xₙ](x−x₀)…(x−xₙ₋₁)
差商递推，便于加点。
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差商递推
f[xᵢ,xᵢ₊₁,…,xᵢ₊ₖ] = (f[xᵢ₊₁..] − f[xᵢ..])/(xᵢ₊ₖ − xᵢ)
一阶差商为斜率。
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切比雪夫节点
xₖ = cos((2k−1)π/(2n))，k=1..n
最小化龙格现象。
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牛顿迭代
xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
局部二次收敛。
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收敛阶
||eₙ₊₁|| / ||eₙ||ᵖ → C > 0，则收敛阶为 p
牛顿法 p=2。
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梯形求积
∫ₐᵇ f dx ≈ (b−a)/2 · [f(a) + f(b)]
线性插值积分。
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辛普森求积
∫ₐᵇ f dx ≈ (b−a)/6 · [f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b)]
二次插值积分，精度 O(h⁴)。
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龙贝格求积
理查森外推加速梯形序列
逐级加密外推。
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雅可比迭代
x⁽ᵏ⁺¹⁾ = D⁻¹(b − (L+U)x⁽ᵏ⁾)
同步更新。
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高斯-赛德尔迭代
x⁽ᵏ⁺¹⁾ = (D+L)⁻¹(b − Ux⁽ᵏ⁾)
用新值算，通常更快。
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矩阵条件数
cond(A) = ||A||·||A⁻¹||
越大越病态。
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五、最优化
凸函数判定
f''(x) ≥ 0（一维）；海森矩阵半正定（多维）⇒ 凸
局部最优即全局最优。
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梯度下降
xₖ₊₁ = xₖ − η ∇f(xₖ)
最速下降方向负梯度。
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拉格朗日函数
L(x, λ) = f(x) + Σ λᵢ gᵢ(x)
约束问题转无约束。
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KKT 条件
∇f + Σ λᵢ∇gᵢ = 0；λᵢgᵢ = 0；λᵢ ≥ 0；gᵢ ≤ 0
不等式约束极值必要条件。
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对偶问题
对偶函数下界拉格朗日对偶问题最优值
弱对偶 d* ≤ p*，强对偶凸问题下成立。
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次梯度
0 ∈ ∂f(x*) ⇔ x* 为凸函数极小点
不可微点的推广导数。
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牛顿法优化
xₖ₊₁ = xₖ − ∇²f(xₖ)⁻¹ ∇f(xₖ)
利用二阶信息，局部二次收敛。
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六、随机过程
泊松过程
N(t) ~ P(λt)，增量独立平稳，P(N(h)=1)≈λh
计数过程。
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马尔可夫性
P(Xₙ₊₁ | Xₙ, Xₙ₋₁, …) = P(Xₙ₊₁ | Xₙ)
未来只依赖现在。
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转移矩阵
P = (pᵢⱼ)，pᵢⱼ = P(Xₙ₊₁=j | Xₙ=i)，行和为 1
一步转移概率。
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n 步转移
P⁽ⁿ⁾ = Pⁿ
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程。
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平稳分布
πP = π，Σπᵢ = 1
不变分布，遍历马氏链收敛到它。
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布朗运动
W(t) ~ N(0, t)，独立平稳增量，W(0)=0
维纳过程。
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伊藤引理
df(t, W) = (fₜ + ½f_WW) dt + f_W dW
随机微积分链式法则。
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鞅
E(Mₙ₊₁ | Fₙ) = Mₙ
公平赌博。
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停时
τ 取值是否 ≤ n 可由 Fₙ 判断
首次到达时间是停时。
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遍历定理
不可约正常返马氏链：时间平均 = 空间平均
样本均值收敛到平稳分布期望。
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七、拓扑与代数
拓扑定义
集合 τ 满足：① ∅,X∈τ；② 任意并封闭；③ 有限交封闭
开集公理。
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连续映射
f: X→Y 连续 ⇔ 任意 Y 中开集原像为 X 中开集
拓扑版连续。
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同胚
双射 f 与 f⁻¹ 都连续
拓扑等价。
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同伦
两连续映射间连续形变
f ≃ g。
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基本群
π₁(X, x₀) = 以 x₀ 为基点的环类在同伦下的群
第一个同伦不变量。
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群定义
非空集合 G 带运算 · 满足：封闭、结合、单位元、逆元
抽象代数基础。
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环与域
环：加法阿贝尔群+半群+分配律；域：非零元都有乘法逆
可除环。
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理想
I ⊲ R：a∈I, r∈R ⇒ ar, ra∈I
商环 R/I 的分母。
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商群
G/N（N 为正规子群），陪集乘法
正规子群保证运算良定义。
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同态基本定理
G/ker φ ≅ im φ
群同态的核心结论。
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伽罗瓦对应
域扩张的中间域与群的子群一一对应
五次方程不可根式解的根源。
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紧集
开覆盖必有有限子覆盖
度量空间中等价于列紧。
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乌雷松引理
正规空间中两不交闭集可用连续函数分离
构造连续函数的工具。
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佐恩引理
偏序集若每条链有上界，则有极大元
选择公理等价形式。
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