因数与倍数：拆数字的积木游戏
因数倍数
整除没余数
质数合数
1谁都不是
短除法
找GCD/LCM
性质
GCD×LCM=a×b
开场场景：老师把 24 个苹果分给几个小朋友，要求每人一样多，正好分完。可以分给 2 人、3 人、4 人、6 人……这些"人数"就是 24 的因数。反过来，24 就是它们每个人的倍数。这一节教你怎么拆一个数、找最大公因数和最小公倍数。
义是什么：整数除法里的"亲戚关系"
大白话：如果 a ÷ b 刚好整除没有余数，就说 b 是 a 的因数，a 是 b 的倍数。24 ÷ 3 = 8，所以 3 和 8 都是 24 的因数。
质数：只有 1 和自己两个因数的数（2、3、5、7、11…）。合数：还有别的因数（4=2×2，6=2×3）。1 既不是质数也不是合数。
路怎么想到的：短除法找最大公因、最小公倍
最大公因数（GCD）：两个数公共因数里最大的那个。最小公倍数（LCM）：公共倍数里最小的那个。口诀：短除法一列，乘半边（GCD 把左边的除数乘起来），乘一圈（LCM 把所有除数和最后的商都乘起来）。
关键性质：GCD(a,b) × LCM(a,b) = a × b。互质：两个数 GCD = 1（如 5 和 9），它们的 LCM 就是 a×b。
完整解法：三道例题
④ 用途与案例
密码学
RSA 加密的核心就是"两个大质数的乘积——别人分解不出来"。因数分解是数学界公认的难题之一。
工程：齿轮咬合
两个齿轮的齿数必须互质，否则会卡在同一个位置磨损。自行车变速、手表机芯都要算这个。
展往哪儿长
小学：因数倍数、质数合数、约分通分靠它们。初中：因式分解就是把多项式拆成"质因式"的乘积，思路一模一样。高中：数论是独立学科，质数分布、同余理论。大学/计算机：RSA 加密就是靠大整数分解困难——两个 300 位的质数相乘容易，拆回来几乎不可能，网银密码就靠这个。
证教材级补充：为什么质数有无穷多个
反证：①假设质数只有有限个：p₁, p₂, …, pₙ。②构造新数 N = p₁·p₂·…·pₙ + 1。③N 除以任何一个已知质数 pᵢ 都余 1，说明 N 不含这些质因数。④那 N 要么本身是新质数，要么有不在列表里的质因数——矛盾。⑤所以假设不成立，质数无穷多。
1 不是质数也不是合数：别把 1 当质数。2 是唯一的偶质数：所有别的偶数都能被 2 整除，都是合数。
练习
基础：16 和 24 的最大公因数？
查看解答
短除：除 2→8、12，再除 2→4、6，再除 2→2、3。GCD = 2×2×2 = 8。错了或卡壳？回到本章「短除GCD乘半边、LCM乘一圈」那一段，把例题再顺一遍。
进阶：一包糖，3 颗一数余 1、5 颗一数余 1、7 颗一数余 1，至少几颗？
查看解答
去掉这 1 颗后正好是 3、5、7 的公倍数。LCM(3,5,7)=105，原糖 = 105+1 = 106 颗。错了或卡壳？回到本章「短除GCD乘半边、LCM乘一圈」那一段，把例题再顺一遍。
① 因数成对出现，质数只有两个因数。
② GCD 乘半边，LCM 乘一圈。
③ 约分除以 GCD，通分乘上 LCM。
- 用自己的话讲：本章的核心是「因数倍数 / 短除法」，合上书用自己的话讲一遍，不许照抄公式。
- 举个反例 / 生活里什么时候最容易错："为什么 1 既不是质数也不是合数？"它只有自己一个因数，凑不够"两个"。
- 哪里还卡壳（标记你的薄弱点）：哪一句你要翻书才说得顺？那个地方就是你的薄弱点，拿笔圈出来。