平面向量 · 第 1 站
平面向量线性运算：加减 / 数乘 / 共线定理
向量是既有大小又有方向的量。它能像数一样加减、乘常数，但又带方向。这一站学向量的线性运算：三角形法则、平行四边形法则、数乘、共线定理——是整个向量板块的地基。
① 这一课怎么学（小白 4 步法）
总用时约 70 分钟，分 4 步，一步都别跳：
1读（15 分钟）
理解向量 vs 数量：向量有方向，不能比较大小。
2画（15 分钟）
画 a+b、a−b、2a、−a 的图示。
3练（20 分钟）
做第⑥⑩部分，重点练共线定理。
4默（10 分钟）
背共线定理和中点公式。
第一课小目标① 用三角形法则画 a+b；② 数乘 λa 的方向和长度；③ 用共线定理判三点共线。
② 一图看懂全课（思维导图）
先有地图再走路：本知识共分这几大块，学完每块回来打勾。
向量线性运算
→
→
→
数乘
λa 长度|λ||a|
λ>0 同向
λ<0 反向
→
③ 先认识它：：有方向的量
向量：既有大小又有方向的量。记作 a（粗体）或 AB。向量的大小叫模，记作 |a|。零向量 0 长度为 0，方向任意。单位向量 长度为 1。
相等向量：大小相等且方向相同。相反向量：大小相等方向相反，−a。
向量不能比较大小"a>b" 是错的（方向不能比大小）。但 |a| 是数量，可以比大小。零向量方向任意，所以 0 与任意向量平行。
⑤ 用法场景与典型例题
典型例题
例1（化简）：化简 AB + BC + CD。
解：AB+BC=AC，AC+CD=AD。结果 = AD。
例2（共线）：已知 AB = 2a，AC = 6a，判断 A,B,C 是否共线。
解：AC = 3·AB，两向量共线且有公共点 A，所以 A,B,C 三点共线。
例3（中点）：已知 OA = a，OB = b，M 是 AB 中点，求 OM。
解：OM = (OA+OB)/2 = (a+b)/2。
例4（用基底表示）：在 △ABC 中，D 是 BC 中点，设 AB = a，AC = b，用 a,b 表示 AD。
解：AD = AB + BD = a + ½BC = a + ½(AC−AB) = a + ½(b−a) = (a+b)/2。
应用场景物理力的合成与分解、位移、速度；几何中证明平行、三点共线；三角形重心公式 OG=(OA+OB+OC)/3。
⑥ 高频错误诊断
错误 1向量写成 a>b 比较大小
✗ → ✓ 向量不能比大小，只能比模
方向无大小。
错误 2数乘 λa 方向永远与 a 相同
✗ → ✓ λ<0 时反向
λ 的符号定方向。
错误 3AB − AC = BC
✗ → ✓ AB − AC = CB
同起点减：从减数终点指向被减数终点。
错误 4共线定理忘 b≠0
✗ → ✓ 共线定理要求 b≠0
b=0 时 λ 不唯一。
⑦ 考点与真题演练（紫 tag）
考点自测（点击选项即时判断）
1. AB + BC + CD + DE = ？
解析：首尾相接，从 A 到 E。
2. 下列哪个是单位向量？
解析：单位向量模为 1。√(½+½)=1。
3. AB = 2e，AC = −6e，则下列正确的是？
解析：AC=−3AB，共线且反向。
⑧ 必背公式卡
向量有大小和方向，模 |a| 是数量。
加法：首尾相接，三角形法则。
减法：同起点，从减向量终点指向被减向量终点。
数乘 λa：长度 |λ||a|，方向看 λ 符号。
共线定理：a∥b(b≠0) ⇔ b=λa。
三点共线：AB=λ·AC。
中点公式：OM=(OA+OB)/2。
⑨ 应用输出（建模 / 口述解题）
口述解题模板"向量线性运算：加减画三角形，数乘看方向，共线找 λ。三点共线就写 AB=λ·AC。中点就用平均公式。"
口述题
口头说：在平行四边形 ABCD 中，AC = a，BD = b，用 a,b 表示 AB。
参考答案：AB+AD=AC=a，AD−AB=BD=b。两式相减：2AB=a−b。AB=(a−b)/2。
⑩ 分层练习 18 题（基础 6 + 中档 6 + 拔高 6）
基础3|a|=3, λ=2，|λa|=?
= 6。
基础5a=2b，a 与 b 共线吗？
共线。
基础6M 是 AB 中点，OM=?
=(OA+OB)/2。
中档7化简 OA+BC−OC。
OA+BC−OC = OA−OC+BC = CA+BC = BC+CA = BA。
中档8AB=(3,4)，求 |AB|。
= 5。
中档9D 是 BC 中点，AB=a, AC=b，求 AD。
= (a+b)/2。
中档10G 是 △ABC 重心，OG=?
= (OA+OB+OC)/3。
中档11a=e1+2e2, b=2e1−ke2，a∥b，求 k。
1·(−k)−2·2=0 ⇒ k=−4。
中档12|a|=2, |b|=3, a 与 b 同向，求 |a+b|。
= 2+3=5。
拔高13△ABC 中，AD=2DB，CA=a, CB=b，求 CD。
CD=CA+AD=CA+(2/3)AB=a+(2/3)(b−a)=a/3+2b/3。
拔高14OA=a, OB=b, OC=c，D 是 AB 中点，求 CD。
OD=(a+b)/2。CD=OD−OC=(a+b)/2−c。
拔高15已知 OP=(1−t)OA+t OB，求证 P 在 AB 上。
OP=OA+t(OB−OA)=OA+t·AB。t∈[0,1] 时 P 在 AB 线段上。
拔高16|a|=3, |b|=4, a⊥b，求 |a+b|。
= √(9+16)=5。
拔高17a,b 不共线，AB=a+2b, BC=−4a−b, CD=−5a−3b，证四边形 ABCD 是梯形。
AD=AB+BC+CD=−8a−2b=2BC。AD∥BC 且 |AD|=2|BC|。一组对边平行且不等，梯形。
拔高18△OAB 中，OC=1/4 OA, OD=1/2 OB，AD 与 BC 交于 M，用 OA,OB 表示 OM。
设 OM=x OA+y OB。M 在 AD 上：x/(1)+y/(1/2)=1 ⇒ x+2y=1。M 在 BC 上：x/(1/4)+y=1 ⇒ 4x+y=1。解得 x=1/7, y=3/7。OM=OA/7+3OB/7。
⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划
三句口诀
① 向量有向又有大小，加减首尾相接跑。
② 数乘看 λ 定方向，共线 b=λa 找。
③ 中点平均重心三均，几何问题向量妙。
7 天复习计划
| 天 | 任务 | 自检 |
|---|
| 第 1 天 | 读③④部分 + 画向量加减图 | 图画对 |
| 第 2 天 | 基础 1-6 + 中档 7-9 | 全对 |
| 第 3 天 | 中档 10-12 + 拔高 13-14 | 共线定理用对 |
| 第 4 天 | 默写共线定理和中点公式 | 不看书能写 |
| 第 5 天 | 拔高 15-18 | 错题搞懂 |
| 第 6-7 天 | 每天用向量表示 2 个几何量 | 零失误 |