平面向量 · 第 3 站

平面向量坐标运算：把向量变成数对

把向量放进坐标系，a = (x, y)，一切运算都变成数对加减乘。坐标法是向量的“机械化”——不用画图，套公式算就行。这一站是向量从几何走向代数的关键一跃。

① 这一课怎么学（小白 4 步法）

总用时约 70 分钟，分 4 步，一步都别跳：

1读（15 分钟）
记坐标加减、数乘、数量积公式。

2练（20 分钟）
做第⑥⑩部分，重点练数量积坐标公式。

3对（20 分钟）
用坐标求模长、夹角、中点。

4默（10 分钟）
背坐标运算全套公式。

第一课小目标① 坐标加减数乘；② a·b=x1x2+y1y2；③ 用坐标求 |a| 和夹角。

② 一图看懂全课（思维导图）

先有地图再走路：本知识共分这几大块，学完每块回来打勾。

坐标运算

→

表示

a=(x,y)

起点原点

AB=(xB−xA,yB−yA)

→

加减数乘

a±b=(x1±x2,y1±y2)

λa=(λx,λy)

→

数量积

a·b=x1x2+y1y2

|a|=√(x²+y²)

→

夹角

cosθ=(x1x2+y1y2)/(|a||b|)

③ 先认识它：：向量变成数对

坐标表示：在平面直角坐标系中，取与 x 轴、y 轴同向的单位向量 i,j 为基底，则 a = xi + yj = (x, y)。

两点间向量：A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)，则 AB = (x₂−x₁, y₂−y₁)——终点减起点。

AB 坐标 = 终点 − 起点别写反。A(1,2), B(4,6)，AB=(4−1,6−2)=(3,4)。不是 (1−4,2−6)。

④ 完整公式 / 体系表

坐标运算全套设 a=(x₁,y₁), b=(x₂,y₂)：
a+b = (x₁+x₂, y₁+y₂)
a−b = (x₁−x₂, y₁−y₂)
λa = (λx₁, λy₁)
a·b = x₁x₂ + y₁y₂
|a| = √(x₁² + y₁²)
cosθ = (x₁x₂+y₁y₂) / (√(x₁²+y₁²)·√(x₂²+y₂²))

中点与距离 AB 中点 M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
|AB| = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)

运算	坐标公式
加	对应坐标相加
减	对应坐标相减
数乘	每个坐标都乘 λ
数量积	对应相乘再相加

⑤ 用法场景与典型例题

典型例题

例1（基本运算）：a=(1,2), b=(3,−4)，求 a+b, a−b, 2a, a·b。

解：a+b=(4,−2)；a−b=(−2,6)；2a=(2,4)；a·b=1·3+2·(−4)=3−8=−5。

例2（求模长夹角）：a=(1,√3), b=(√3,1)，求 |a|, |b|, a·b, 夹角 θ。

解：|a|=√(1+3)=2；|b|=√(3+1)=2；a·b=√3+√3=2√3；cosθ=2√3/(2·2)=√3/2。θ=30°。

例3（两点向量）：A(1,2), B(4,6)，求 AB 坐标和 |AB|。

解：AB=(4−1,6−2)=(3,4)。|AB|=√(9+16)=5。

例4（单位向量）：a=(3,4)，求与 a 同向的单位向量。

解：|a|=5。单位向量 = a/|a| = (3/5, 4/5)。

高考考法向量坐标运算几乎每年必考，常和三角、几何结合出大题。坐标法把一切变成算术，是最稳的解法。

⑥ 高频错误诊断

错误 1AB = (xA−xB, yA−yB)
✗ → ✓ AB = (xB−xA, yB−yA)
终点减起点，别反。

错误 2a·b = (x1x2, y1y2)
✗ → ✓ a·b = x1x2 + y1y2
数量积是一个数，不是数对。

错误 3|a| = x1²+y1²
✗ → ✓ |a| = √(x1²+y1²)
开根号！

错误 4λa 只乘第一个坐标
✗ → ✓ 两个坐标都乘 λ
(λx, λy)。

⑦ 考点与真题演练（紫 tag）

考点自测（点击选项即时判断）

1. a=(2,3), b=(−1,2)，则 a·b = ？

解析：a·b=2·(−1)+3·2=−2+6=4。

2. a=(3,4)，则 |a| = ？

解析：|a|=√(9+16)=5。

3. A(1,1), B(4,5)，则 AB = ？

解析：AB=(4−1,5−1)=(3,4)。

⑧ 必背公式卡

a=(x,y)，AB=(xB−xA, yB−yA)。
a±b=(x1±x2, y1±y2)。
λa=(λx, λy)。
a·b=x1x2+y1y2。
|a|=√(x²+y²)。
cosθ=(x1x2+y1y2)/(|a||b|)。
中点 M=((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。

⑨ 应用输出（建模 / 口述解题）

口述解题模板"坐标法四步：① 建系写坐标；② 套坐标公式算加减数乘数量积；③ 求模开根号；④ 求夹角套 cosθ。"

口述题

口头算：a=(1,1), b=(2,−1)，求 a·b 和 a 与 b 夹角。

参考答案：a·b=2−1=1。|a|=√2, |b|=√5。cosθ=1/(√2·√5)=1/√10。θ=arccos(1/√10)。

⑩ 分层练习 18 题（基础 6 + 中档 6 + 拔高 6）

基础1a=(1,2),b=(3,4)，a+b=?

= (4,6)。

基础2a=(2,−1),b=(1,3)，a−b=?

= (1,−4)。

基础3a=(2,3)，2a=?

= (4,6)。

基础4a=(3,4)，|a|=?

= 5。

基础5a=(1,2),b=(2,−1)，a·b=?

= 2−2=0。

基础6A(0,0), B(3,4)，AB=?

= (3,4)。

中档7a=(2,3), b=(−1,2)，求 2a−3b。

= (4,6)−(−3,6)=(7,0)。

中档8a=(1,√3)，求与 a 同向单位向量。

|a|=2。=(1/2, √3/2)。

中档9a=(1,2), b=(3,1)，求夹角余弦。

a·b=3+2=5。|a|=√5, |b|=√10。cosθ=5/√50=√2/2。θ=45°。

中档10A(1,2), B(4,6)，求 AB 中点 M。

M=((1+4)/2,(2+6)/2)=(2.5,4)。

中档11a=(2,1), b=(1,k)，a⊥b，求 k。

2·1+1·k=0 ⇒ k=−2。

中档12a=(1,2), b=(2,−4)，判断 a 与 b 关系。

b=2·(1,−2)=−2·(−1,2)。a·b=2−8=−6。不垂直。b=−2a？−2a=(−2,−4)≠b。既不共线也不垂直。

拔高13a=(1,2), b=(−3,2)，求 |2a+b|。

2a+b=(2,4)+(−3,2)=(−1,6)。|2a+b|=√(1+36)=√37。

拔高14A(1,0), B(0,1), C(2,5)，求 AB·AC。

AB=(−1,1), AC=(1,5)。AB·AC=−1+5=4。

拔高15a=(cosθ, sinθ), b=(sinθ, cosθ)，求 a·b。

= cosθsinθ+sinθcosθ = sin2θ。

拔高16点 A(2,3), B(5,−1)，点 P 在 x 轴上且 AP⊥BP，求 P 坐标。

设 P(x,0)。AP=(x−2,−3), BP=(x−5,1)。(x−2)(x−5)−3=0 ⇒ x²−7x+7=0。x=(7±√21)/2。

拔高17a=(1,2), b=(−3,2)，求 a 在 b 方向上的投影。

投影 = (a·b)/|b| = (−3+4)/√13 = 1/√13。

拔高18已知 O(0,0), A(1,2), B(4,0)，P 是 OC 中点（C=OA+OB），求 P 坐标。

C=OA+OB=(1,2)+(4,0)=(5,2)。P=(2.5,1)。

⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划

三句口诀 ① 坐标加减对应加，数乘两个都要乘。
② 数量积是对应乘再相加，模长平方和开根。
③ AB 终点减起点，中点坐标取平均。

7 天复习计划

天	任务	自检
第 1 天	读③④部分 + 背坐标公式表	公式熟
第 2 天	基础 1-6 + 中档 7-9	全对
第 3 天	中档 10-12 + 拔高 13-14	数量积零错
第 4 天	默写坐标运算全套公式	不看书能写
第 5 天	拔高 15-18	错题搞懂
第 6-7 天	每天坐标算 3 个向量	零失误