三角函数 · 第 6 站
正弦/余弦/正切函数图像与 y=Asin(ωx+φ)
三角函数长什么样？正弦波从单位圆展开，余弦是正弦左移 π/2。而 y=Asin(ωx+φ) 的图像变换是高考大题最后一问——求周期、振幅、单调区间、对称轴。
① 这一课怎么学（小白 4 步法）
总用时约 70 分钟，分 4 步，一步都别跳：
1读（15 分钟）
画 y=sinx, y=cosx, y=tanx 草图。
2练（20 分钟）
做第⑥⑩部分，重点练 y=Asin(ωx+φ) 性质。
3对（20 分钟）
练由图像求 A,ω,φ。
4默（10 分钟）
背三个三角函数的定义域值域周期。
第一课小目标① 说出 y=sinx 的周期和最值；② 求 y=2sin(2x+π/3) 的周期。
② 一图看懂全课（思维导图）
先有地图再走路：本知识共分这几大块，学完每块回来打勾。
三角函数图像
→
y=sinx
定义域 R
值域 [−1,1]
周期 2π
奇函数
→
y=cosx
定义域 R
值域 [−1,1]
周期 2π
偶函数
→
y=tanx
x≠π/2+kπ
值域 R
周期 π
奇函数
→
Asin(ωx+φ)
A 振幅
ω 角频率
φ 初相
周期 2π/|ω|
③ 先认识它：：波浪曲线
y=sinx：波浪形，过原点，周期 2π，最大值 1 在 x=π/2，最小值 −1 在 x=3π/2。奇函数。
y=Asin(ωx+φ) 周期周期 T=2π/|ω|，不是 2π！ω 控制快慢：ω 越大周期越短。A 控制振幅（上下拉伸），φ 控制左右平移。
⑤ 用法场景与典型例题
典型例题
例1：求 y=2sin(2x+π/3) 的周期和最值。
解：T=2π/2=π。最大值=2，最小值=−2。
例2：求 y=sin(2x−π/3) 的单调递增区间。
解：2kπ−π/2≤2x−π/3≤2kπ+π/2 ⇒ 2kπ−π/6≤2x≤2kπ+5π/6 ⇒ [kπ−π/12, kπ+5π/12]。
例3：y=Asin(ωx+φ) 图像最高点 (π/6, 3)，与 x 轴相邻交点 (2π/3,0)，求 A,ω。
解：A=3。从最高点到下一个零点是 T/4：2π/3−π/6=π/2=T/4 ⇒ T=2π ⇒ ω=1。A=3, ω=1。
例4：y=cosx 如何平移得到 y=sin(x+π/4)？
解：sin(x+π/4)=cos(x+π/4−π/2)=cos(x−π/4)。向右平移 π/4。
高考考法给图像求解析式、求单调区间、求对称轴、判断变换。三角大题第二问。
⑥ 高频错误诊断
错误 1周期写成 2π（忘 ω）
✗ → ✓ T=2π/ω
ω≠1 时要除。
错误 2平移方向写反
✗ → ✓ 左加右减
x+φ 是左移，x−φ 是右移。
错误 3振幅写成 A 但实际是 |A|
✗ → ✓ A>0 时振幅=A
注意正负。
错误 4tanx 周期写成 2π
✗ → ✓ tanx 周期是 π
tanx 每 π 重复。
⑦ 考点与真题演练（紫 tag）
考点自测（点击选项即时判断）
1. y=3sin(2x+π/6) 的周期 T = ？
解析：T=2π/2=π。
2. y=sinx 的最大值和周期是？
解析：sinx 值域 [−1,1]，周期 2π。
3. y=cosx 的图像是？
解析：cos0=1，偶函数，周期 2π。
⑧ 必背公式卡
y=sinx：奇，[−1,1]，T=2π。
y=cosx：偶，[−1,1]，T=2π。
y=tanx：奇，R，T=π，x≠π/2+kπ。
y=Asin(ωx+φ)：振幅 A，周期 2π/ω。
对称轴：ωx+φ=π/2+kπ。
左加右减（平移规则）。
sin(x+π/2)=cosx（诱导公式）。
⑨ 应用输出（建模 / 口述解题）
口述解题模板"图像题四步：① 看 A 定振幅；② 看周期 T 求 ω；③ 看零点/最高点求 φ；④ 写单调区间和对称轴。"
口述题
口头说：y=2sin(3x+π/4) 的周期、最大值、初相。
参考答案：T=2π/3。最大值 2。初相 φ=π/4。
⑩ 分层练习 18 题（基础 6 + 中档 6 + 拔高 6）
基础2y=cosx 是奇函数还是偶函数？
偶函数。
基础4y=Asin(ωx+φ) 周期=?
= 2π/ω。
基础6y=cosx 在 x=0 处=?
= 1。
中档7y=3sin(2x) 的周期和最大值。
T=π，最大值 3。
中档8y=sin(x+π/4) 由 y=sinx 怎么平移？
向左平移 π/4。
中档9求 y=sin(2x) 的对称轴。
2x=π/2+kπ ⇒ x=π/4+kπ/2。
中档10y=2cos(x−π/3) 的振幅和周期。
振幅 2，周期 2π。
中档11求 y=sin(2x+π/3) 的单调递增区间。
2kπ−π/2≤2x+π/3≤2kπ+π/2 ⇒ [kπ−5π/12, kπ+π/12]。
中档12y=sinx 的对称轴是？
x=π/2+kπ。
拔高13y=Asin(ωx+φ) 最大值 2，相邻最高点 (π/12,2) 和 (7π/12,2)，求解析式。
A=2。T=2·(7π/12−π/12)=π。ω=2。2·π/12+φ=π/2 ⇒ φ=π/3。=2sin(2x+π/3)。
拔高14y=sin(2x+π/3) 向右平移 π/6 得什么？
=sin(2(x−π/6)+π/3)=sin2x。
拔高15求 y=tan(2x−π/4) 的定义域和周期。
2x−π/4≠π/2+kπ ⇒ x≠3π/8+kπ/2。T=π/2。
拔高16y=2sin(ωx+π/6) 周期为 π，求 ω。
2π/ω=π ⇒ ω=2。
拔高17求 y=sin²x 的周期。
= (1−cos2x)/2。周期 π。
拔高18y=Asin(ωx+φ) 图像过 (0,1), (π/6,2)，在 x=π/6 取最大值，求 A,ω,φ。
A=2。2sinφ=1 ⇒ sinφ=1/2 ⇒ φ=π/6。2·π/6·ω+π/6=π/2 ⇒ ω=1。=2sin(x+π/6)。
⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划
三句口诀① 正余弦波周期 2π，正切周期是 π。
② Asin(ωx+φ)：A 振幅 ω 速 φ 初相。
③ 周期 2π/ω，左加右减记心上。
7 天复习计划
| 天 | 任务 | 自检 |
|---|
| 第 1 天 | 画三个三角函数草图 | 特征点对 |
| 第 2 天 | 基础 1-6 + 中档 7-9 | 全对 |
| 第 3 天 | 中档 10-12 + 拔高 13-14 | 周期平移对 |
| 第 4 天 | 默写三函数性质表 | 不看书能写 |
| 第 5 天 | 拔高 15-18 | 错题搞懂 |
| 第 6-7 天 | 每天画 1 个 Asin 图 | 零失误 |