⑥ 中国学生高频错误诊断（4 条）
错误 1：把"函数值相反"当成轴对称f(a+x)=−f(a−x) 是中心对称，不是轴对称。看等号后有没有负号。
错误 2：双对称推周期倍数用错两对称轴 → 2 倍距离；一轴一心 → 4 倍距离。别都用 2 倍。
错误 3：周期函数值不会"取模"求 f(100) 要把 100 减去周期的整数倍，落到已知区间里，别硬算。
错误 4：把 f(x+a)=f(x+b) 直接当周期f(x+a)=f(x+b) 才是周期 T=|a−b|；f(a+x)=f(a−x) 是轴对称，不是周期。
⑧ 必背公式卡
轴对称：f(a+x)=f(a−x) ⇒ 轴 x=a 函数值相等
中心对称：f(a+x)=−f(a−x) ⇒ 心 (a,0) 函数值相反
周期：f(x+T)=f(x) 平移重合
两对称轴：x=a, x=b ⇒ T=2|b−a| 2 倍距离
两对称心：(a,0),(b,0) ⇒ T=2|b−a| 2 倍距离
一轴一心：x=a 与 (b,0) ⇒ T=4|b−a| 4 倍距离
奇偶特例：偶=轴 x=0，奇=心 (0,0) 一般化
⑩ 分层练习 18 题（基础 6 + 中档 6 + 拔高 6）
▍基础 6 题
基础1f(x) 周期为 5，f(3)=2，求 f(8)。
f(8)=f(3+5)=f(3)=2。
基础2f(x+1)=f(x)，周期是？
T=1。
基础3f(1+x)=f(1−x)，对称轴？
x=1。
基础4f(−x)=f(x)，对称轴？
x=0（y 轴），偶函数。
基础5f(−x)=−f(x)，对称中心？
(0,0)，奇函数。
基础6f(x) 周期 2，f(0.5)=3，求 f(2.5)。
f(2.5)=f(0.5+2)=3。
▍中档 6 题
中档7f(x) 关于 x=2 和 x=5 对称，求周期。
两对称轴距离 3，T=2×3=6。
中档8f(x) 是偶函数，f(x)=f(4−x)，求周期。
轴 x=0 与 x=2，距离 2，T=4。周期 4。
中档9f(x) 周期 3，且 f(1)=1, f(2)=2，求 f(2024)。
2024÷3=674 余 2，f(2024)=f(2)=2。
中档10f(x) 满足 f(x+2)=−f(x)，求周期。
f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，T=4。
中档11f(x) 关于 (1,0) 和 (3,0) 对称，求周期。
两中心距离 2，T=2×2=4。
中档12f(x) 关于 x=1 对称，且 f(x+2)=f(x)，f(0)=3，求 f(2)。
周期 2，f(2)=f(0)=3。
▍拔高 6 题
拔高13f(x) 奇函数，且 f(x+2)=f(x)，求 f(0)+f(2)+f(4)。
奇 f(0)=0；周期 2，f(2)=f(0)=0，f(4)=f(0)=0。和为 0。
拔高14f(x) 关于 x=1 对称，又关于 (2,0) 对称，求周期。
一轴一心距离 1，T=4×1=4。
拔高15f(x+1) 是奇函数，能推出什么？
f(x+1)=−f(−x+1)，即 f(1+x)=−f(1−x)，故 f(x) 关于 (1,0) 中心对称。
拔高16f(x) 周期 4，x∈[0,2] 时 f(x)=x，求 f(7)。
f(7)=f(7−4−4)=f(−1)。周期 4，f(−1)=f(3)。需另给对称条件；若奇 f(−1)=−f(1)=−1。f(7)=−1（结合奇性）。
拔高17f(x) 满足 f(2+x)=f(2−x) 且 f(7+x)=f(7−x)，f(0)=0，求 f(100)。
两对称轴 x=2, x=7，T=2×5=10。f(100)=f(0)=0。
拔高18f(x) 奇函数，f(x+2)=−f(x)，当 x∈[0,1] 时 f(x)=x，求 f(7.5)。
由 f(x+2)=−f(x) 得 T=4。f(7.5)=f(7.5−8)=f(−0.5)=−f(0.5)=−0.5。