三角函数 · 第 3 站
和差角 / 二倍角 / 半角公式
和差角公式展开 sin(α±β)，二倍角公式从和差角推出 sin2α、cos2α。这是三角恒等变换的核心工具，高考大题必考。
① 这一课怎么学（小白 4 步法）
总用时约 70 分钟，分 4 步，一步都别跳：
1读（15 分钟）
推一遍和差角→二倍角，理解公式来源。
2练（20 分钟）
做第⑥⑩部分，重点练二倍角的降幂。
3对（20 分钟）
练给值求值题型（知 sinα 求 cos2α）。
4默（10 分钟）
背和差角和二倍角全套公式。
第一课小目标① 写出 sin(α+β) 和 cos2α；② 用二倍角降幂。
② 一图看懂全课（思维导图）
先有地图再走路：本知识共分这几大块，学完每块回来打勾。
恒等变换
→
和差角
sin(α±β)
cos(α±β)
tan(α±β)
→
二倍角
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos²α−sin²α
降幂公式
→
半角
sin(α/2)
cos(α/2)
tan(α/2)
→
③ 先认识它：：和差倍角一套链
所有公式都从和差角公式推出。和差角是母公式，二倍角是 β=α 的特例。
⑤ 用法场景与典型例题
典型例题
例1：已知 sinα=3/5，α∈(π/2,π)，求 sin2α。
解：cosα=−4/5（第二象限）。sin2α=2·(3/5)·(−4/5)=−24/25。
例2：求 cos(π/12)。
解：π/12=15°=45°−30°。cos(45°−30°)=cos45cos30+sin45sin30=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4。
例3：化简 sin²15°。
解：sin²15°=(1−cos30°)/2=(1−√3/2)/2=(2−√3)/4。
例4：已知 tanα=2，求 tan2α。
解：tan2α=2·2/(1−4)=4/(−3)=−4/3。
高考考法给值求值是必考题型：给一个三角函数值和象限，求二倍角。
⑥ 高频错误诊断
错误 1sin(α+β)=sinα+sinβ
✗ → ✓ =sinαcosβ+cosαsinβ
正弦展开不是加法。
错误 2cos2α=cos²α+sin²α
✗ → ✓ =cos²α−sin²α
中间是减号。
错误 3tan(α+β) 分子分母符号错
✗ → ✓ =(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)
分子加，分母 1−积。
错误 4降幂公式写反
✗ → ✓ sin²=(1−cos2α)/2，cos²=(1+cos2α)/2
正弦减，余弦加。
⑦ 考点与真题演练（紫 tag）
考点自测（点击选项即时判断）
1. sin2α = ？
解析：二倍角正弦公式。
2. cos2α = ？（下列哪个错）
解析：cos²+sin²=1，不是 cos2α。
3. 已知 sinα=1/3，α∈(0,π/2)，则 sin2α = ？
解析：cosα=2√2/3。sin2α=2·(1/3)·(2√2/3)=4√2/9。
⑧ 必背公式卡
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ。
cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ。
sin2α=2sinαcosα。
cos2α=cos²α−sin²α=2cos²α−1=1−2sin²α。
tan2α=2tanα/(1−tan²α)。
降幂：sin²α=(1−cos2α)/2，cos²α=(1+cos2α)/2。
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)。
⑨ 应用输出（建模 / 口述解题）
口述解题模板"和差倍角四步：① 找已知角和目标角的关系；② 选公式展开；③ 代入已知值；④ 定符号看象限。"
口述题
口头说：已知 cosα=3/5，α 锐角，求 cos2α。
参考答案：cos2α=2cos²α−1=2·9/25−1=18/25−25/25=−7/25。
⑩ 分层练习 18 题（基础 6 + 中档 6 + 拔高 6）
基础1sin2α=?
= 2sinαcosα。
基础2cos2α=?（一种）
= cos²α−sin²α。
基础3sin(α+β)=?
= sinαcosβ+cosαsinβ。
基础4cos(α−β)=?
= cosαcosβ+sinαsinβ。
基础5降幂：sin²α=?
= (1−cos2α)/2。
基础6tan2α=?
= 2tanα/(1−tan²α)。
中档7sinα=3/5, α∈(0,π/2)，求 sin2α。
cosα=4/5。sin2α=24/25。
中档8cosα=−3/5, α∈(π/2,π)，求 cos2α。
cos2α=2·9/25−1=−7/25。
中档9求 sin75°。
sin(45+30)=sin45cos30+cos45sin30=(√6+√2)/4。
中档10tanα=1/2，求 tan2α。
=1/(1−1/4)=4/3。
中档11化简 cos⁴α−sin⁴α。
=(cos²α−sin²α)(cos²α+sin²α)=cos2α。
中档12求 sin15°cos15°。
=½sin30°=1/4。
拔高13已知 sinα+cosα=1/2，求 sin2α。
(sinα+cosα)²=1+sin2α=1/4 ⇒ sin2α=−3/4。
拔高14化简 (1−cos2α)/sin2α。
= 2sin²α/(2sinαcosα)=tanα。
拔高15tanα=3，求 (sin2α−cos2α)/(1+cos2α)。
sin2α=6/10=3/5。cos2α=(1−9)/(1+9)=−4/5。原式=(3/5+4/5)/(1−4/5)=(7/5)/(1/5)=7。
拔高16已知 cos(α+β)=1/3, cosβ=3/4, α,β 锐角，求 sinα。
sin(α+β)=2√2/3, sinβ=√7/4。sinα=sin((α+β)−β)=sin(α+β)cosβ−cos(α+β)sinβ=2√2/3·3/4−1/3·√7/4=(6√2−√7)/12。
拔高17求 cos36°−cos72°。
cos36=(1+√5)/4·2, cos72=(√5−1)/4·2。差=1/2。
拔高18化简 cos20°cos40°cos80°。
=1/8。（乘 2sin20°/2sin20° 连续二倍角）
⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划
三句口诀① 和差角母公式，二倍角是 β=α。
② 正弦交叉加，余弦同组减。
③ 降幂半角别记反，正弦减来余弦加。
7 天复习计划
| 天 | 任务 | 自检 |
|---|
| 第 1 天 | 推和差角→二倍角 | 不看书能推 |
| 第 2 天 | 基础 1-6 + 中档 7-9 | 全对 |
| 第 3 天 | 中档 10-12 + 拔高 13-14 | 符号象限对 |
| 第 4 天 | 默写全套公式 | 不看书能写 |
| 第 5 天 | 拔高 15-18 | 错题搞懂 |
| 第 6-7 天 | 每天做 2 道给值求值 | 零失误 |