数列 · 第 4 站
裂项相消求和：把一项拆成两项差
求 1/(1·2) + 1/(2·3) + ... + 1/(n(n+1))？死算到天亮。裂项相消把每一项拆成两项差，中间全部抵消，只剩首尾。这是高考数列求和的两大神器之一。
① 这一课怎么学（小白 4 步法）
总用时约 70 分钟，分 4 步，一步都别跳：
1读（15 分钟）
记住常见裂项公式：1/(n(n+1))=1/n−1/(n+1)。
2练（20 分钟）
做第⑥⑩部分，重点练系数和符号。
3对（20 分钟）
练 1/((2n−1)(2n+1)) 等变形。
4默（10 分钟）
背 3 个核心裂项公式。
第一课小目标① 写出 1/(n(n+1)) 的裂项；② 求和时正确抵消；③ 处理带系数的裂项。
② 一图看懂全课（思维导图）
先有地图再走路：本知识共分这几大块，学完每块回来打勾。
裂项相消
→
→
变形
1/((2n−1)(2n+1))
半系数
1/(√n+√n+1)
→
→
③ 先认识它：：把乘积倒数拆成差
核心思想：把通项 an = 1/[f(n)·f(n+1)] 拆成两项差，求和时中间项全部抵消，只剩首尾两项。
系数别忘1/((2n−1)(2n+1)) = ½·[1/(2n−1)−1/(2n+1)]，那个 ½ 不能丢！检验方法：通分右边看是否等于左边。
⑤ 用法场景与典型例题
典型例题
例1（基础）：求 1/(1·2)+1/(2·3)+...+1/(n(n+1))。
解：= (1−1/2)+(1/2−1/3)+...+(1/n−1/(n+1)) = 1−1/(n+1) = n/(n+1)。
例2（带系数）：求 1/(1·3)+1/(3·5)+...+1/((2n−1)(2n+1))。
解：每一项 = ½·[1/(2k−1)−1/(2k+1)]。和 = ½·[(1−1/3)+(1/3−1/5)+...+(1/(2n−1)−1/(2n+1))] = ½·[1−1/(2n+1)] = n/(2n+1)。
例3（有理化）：求 1/(1+√2)+1/(√2+√3)+...+1/(√n+√(n+1))。
解：每项 = √(k+1)−√k（分子分母同乘 √(k+1)−√k）。和 = (√2−1)+(√3−√2)+...+(√(n+1)−√n) = √(n+1)−1。
例4（变形）：求 1/(1·2·3)+1/(2·3·4)+...+1/(n(n+1)(n+2))。
解：1/[n(n+1)(n+2)] = ½·[1/(n(n+1))−1/((n+1)(n+2))]。再用基础裂项，最后 = ¼ − 1/[2(n+1)(n+2)]。
高考考法数列大题第二问，给通项是分式乘积形式，第一问求通项，第二问裂项求和。
⑥ 高频错误诊断
错误 11/((2n−1)(2n+1)) 裂项忘乘 ½
✗ → ✓ 必须乘 ½
通分检验：[1/(2n−1)−1/(2n+1)] = 2/((2n−1)(2n+1))，差个 2 倍。
错误 2求和后写成 b1−bn
✗ → ✓ 剩 b1−bn+1
最后一项拆成 bn−bn+1，留的是 bn+1。
错误 3裂项方向写反
✗ → ✓ 1/n−1/(n+1) 不是 1/(n+1)−1/n
裂项后应该是正数相减，大的在前。
错误 4不检验通分就写裂项
✗ → ✓ 写完成通分检查
通分后看是否等于原通项。
⑦ 考点与真题演练（紫 tag）
考点自测（点击选项即时判断）
1. 数列 {1/(n(n+1))} 前 n 项和 Sn = ？
解析：裂项相消：Sn=1−1/(n+1)=n/(n+1)。
2. 1/((2n−1)(2n+1)) 裂项系数是？
解析：通分：[1/(2n−1)−1/(2n+1)] = 2/((2n−1)(2n+1))，所以原式 = ½ 倍。
3. 数列 {1/(n(n+2))} 前 n 项和 = ？
解析：1/(n(n+2))=½[1/n−1/(n+2)]。和=½[1+1/2−1/(n+1)−1/(n+2)] = 3/4−½[1/(n+1)+1/(n+2)]。
⑧ 必背公式卡
1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1)。
1/(n(n+k)) = (1/k)(1/n − 1/(n+k))。
1/((2n−1)(2n+1)) = ½(1/(2n−1) − 1/(2n+1))。
1/(√n+√(n+1)) = √(n+1) − √n。
求和后中间全消，剩首项减末项。
裂项后必须通分检验。
系数别忘，符号别反。
⑨ 应用输出（建模 / 口述解题）
口述解题模板"裂项三步：① 把通项拆成两项差（注意系数）；② 写出前几项和后几项，看中间哪些抵消；③ 剩下首项和末项，化简。"
口述题
口头求 1/(1·3)+1/(3·5)+...+1/(9·11)。
参考答案：= ½(1−1/3+1/3−1/5+...+1/9−1/11) = ½(1−1/11) = ½·10/11 = 5/11。
⑩ 分层练习 18 题（基础 6 + 中档 6 + 拔高 6）
基础11/(1·2) = ?
= 1−1/2 = 1/2。
基础21/(n(n+1)) = 1/n − ( )
−1/(n+1)。
基础31/(1·2)+...+1/(9·10) = ?
= 1−1/10 = 9/10。
基础41/(1·3) = ½(1 − ? )
−1/3。
基础5Sn = n/(n+1)，求 an。
an=Sn−Sn−1= n/(n+1)−(n−1)/n = 1/(n(n+1))。
基础61/(√1+√2) = ?
= √2−1。
中档7求 1/(2·4)+1/(4·6)+...+1/(2n(2n+2))。
= ¼[1/1−1/(n+1)] = n/[4(n+1)]。
中档8求 1/(1·2·3)+... 前 n 项和。
= ¼ − 1/[2(n+1)(n+2)]。
中档9求 1/(1·3)+1/(3·5)+...+1/(19·21)。
= ½(1−1/21) = 10/21。
中档10求 1/(√2+√3)+...+1/(√99+√100)。
= √100−√2 = 10−√2。
中档11求 Σ(k=1..n) 1/(k(k+2))。
= ½(1+1/2−1/(n+1)−1/(n+2)) = 3/4 − (2n+3)/[2(n+1)(n+2)]。
中档12求 Σ(k=1..n) k/[(k+1)(k+2)]。
k/((k+1)(k+2)) = −1/(k+1)+2/(k+2)。和 = ... 化简得 (3n+4)/[2(n+1)(n+2)] − 1/2。
拔高13求 1/(1·2)+2/(2·3)+...+n/(n(n+1))。
通项 n/(n(n+1)) = 1/(n+1)。和 = Σ1/(k+1) = H(n+1)−1（调和级数，无 closed form）。
拔高14求 1·2 + 2·3 + ... + n(n+1)。
n(n+1)=n²+n。和 = Σn²+Σn = n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2 = n(n+1)(n+2)/3。
拔高15求 Σ(k=1..n) 1/[(2k−1)(2k+3)]。
= ¼[1/(2k−1)−1/(2k+3)]。和 = ¼[1+1/3−1/(2n+1)−1/(2n+3)]。
拔高16数列 an=1/[n(n+1)]，求 {Sn·Sn+1} 前 n 项和。
Sn=n/(n+1)。Sn·Sn+1 = n/(n+1)·(n+1)/(n+2)=n/(n+2)。此非裂项型，略。
拔高17求和 Σ(k=1..n) 1/[(k+1)√k + k√(k+1)]。
分母有理化后 = 1/√k − 1/√(k+1)。和 = 1 − 1/√(n+1)。
拔高18求 1/(1·3·5)+1/(3·5·7)+... 前 n 项和。
1/[(2k−1)(2k+1)(2k+3)] = ¼[1/((2k−1)(2k+1))−1/((2k+1)(2k+3))]。再裂项一次，最终 = ¼·[½(1−1/(2n+1))−½(1/3−1/(2n+3))] 化简。
⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划
三句口诀
① 乘积倒数可裂项，两项差来抵消。
② 系数通分检验过，中间全消留首尾。
③ 有理化也是裂项，根号相消要记牢。
7 天复习计划
| 天 | 任务 | 自检 |
|---|
| 第 1 天 | 背 3 个核心裂项公式 | 通分检验对 |
| 第 2 天 | 基础 1-6 + 中档 7-9 | 全对 |
| 第 3 天 | 中档 10-12 + 拔高 13-14 | 系数零错 |
| 第 4 天 | 默写裂项公式表 | 不看书能写 |
| 第 5 天 | 拔高 15-18 | 错题搞懂 |
| 第 6-7 天 | 每天裂项 3 个求和 | 零失误 |