知识点深化 · 立体几何 · 球与几何体的切接
球的内切与外接：切接问题
一个正方体外面包着一个球（外接球），或球内切于一个圆锥——这类”切接问题“是立体几何的压轴常客。核心就一句话：找到球心，求出半径 R。外接球心到所有顶点距离相等；内切球心到所有面距离相等。会找球心，这一类题就通了。
① 这一课怎么学（小白 4 步法）
总用时约 70 分钟，分 4 步，一步都别跳：
1认（15 分钟）
看第③部分：外接、内切、棱切三种位置关系。
2找心（20 分钟）
学第④表：长方体→体对角线一半；正锥→轴截面。
3练（25 分钟）
做第⑥⑩，每道题先画轴截面。
4背（10 分钟）
背第⑧：常见模型的 R 公式。
小目标① 说清外接球与内切球的区别；② 会求长方体外接球 R；③ 知道正锥外接球在高线上。
② 一图看懂全课（思维导图）
先有地图再走路：本知识共分这几大块，学完每块回来打勾。
③ 先认识它：内切和外接，球心在哪
外接球：球面经过几何体的所有顶点，几何体”装在球里”。球心到每个顶点距离都等于 R。
内切球：球面与几何体每个面都相切，几何体”包住球”。球心到每个面距离都等于 r。
最常用模型：长方体的外接球长方体体对角线 = 球的直径。若长宽高为 a,b,c，则 (2R)² = a²+b²+c²，即 R = √(a²+b²+c²)/2。正方体是特例：R = √3·a/2。
⑤ 用法场景与典型例题
例：长方体长宽高 2、√3、√2，求外接球表面积。
(2R)²=4+3+2=9 → R=3/2。S=4πR²=4π·9/4=9π。
例（等体积法）：三棱锥体积 V=4，表面积 S表=12，求内切球半径。r=3V/S表=12/12=1。
轴截面是利器圆锥、圆柱的外接球问题，画过轴的截面图：球变成一个圆，圆锥变成等腰三角形，问题退化成”三角形外接圆”，用正弦定理 R=a/(2sinA)。
⑥ 高频错误诊断
错误 1把外接球半径当成体对角线
✗ → ✓ 体对角线=2R，不是 R
R=体对角线/2。
错误 2内切球半径用勾股硬算
✗ → ✓ 内切球优先用等体积法 r=3V/S表
别死找球心距离。
错误 3外接球与内切球概念互换
✗ → ✓ 外接过顶点，内切切面相
读题先判断是”包着”还是”被包”。
错误 4正锥外接球心位置猜错
✗ → ✓ 在高线上，不在底面中心
列方程 R²=(h−R)²+r²。
⑦ 考点与真题演练（紫 tag）
| 题型 | 怎么考 | 应对 |
|---|
| 长方体外接球 | 给长宽高求 R | (2R)²=a²+b²+c² |
| 正锥外接球 | 圆锥/正三棱锥 | 轴截面→三角形外接圆 |
| 内切球 | 多面体内切球 | 等体积法 r=3V/S表 |
真题风格演练
真题风格自测（点击选项即时判断）
1. 棱长为 2 的正方体外接球半径 R=？
2. 正方体内切球半径等于？
3. 三棱锥体积 6、表面积 18，内切球半径 r=？
考场提醒看到”外接球”先问：是不是长方体/正方体？是就套 (2R)²=a²+b²+c²。不是就画轴截面找球心。
⑧ 必背公式卡
方法总结：找外接球心三步① 先找一个过球心的截面（通常是轴截面）；② 在该截面内，球心在「到两点等距」的中垂线上；③ 列方程 R² = d² + r² 解出 R。内切球则优先等体积法 r=3V/S表，几乎不用找球心位置。
长方体外接球：(2R)²=a²+b²+c²。
正方体外接球：R=√3 a/2。
正方体内切球：r=a/2。
内切球通用：r=3V/S表。
正锥外接球：R=(r²+h²)/(2h)。
⑨ 应用输出（建模 / 口述解题）
建模：一个篮球要放进一个长方体盒子，盒子内尺寸 20×20×30，篮球直径最大能多大？
盒子最短边 20 决定球直径≤20，即半径≤10（球内切于盒子的两个侧面方向）。
口述：为什么正四面体外接球半径是内切球的 3 倍？因为正四面体重心把高分成 3:1，外心到顶点是 3 份，到面是 1 份。
延伸：补形法遇到三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以把它「补」成长方体——外接球就是长方体的外接球，体对角线即直径。这招把不规则三棱锥变成熟悉的长方体，是高考压轴常用技巧。补形后 R=√(a²+b²+c²)/2，一步出答案。
⑩ 分层练习 18 题（基础 6 + 中档 6 + 拔高 6）
基础3长方体外接球直径等于什么？
体对角线。
基础4正方体棱长 1，外接球 R？
√3/2。
基础5内切球半径公式 r=？
r=3V/S表。
中档7长方体 1、2、2，外接球 R？
(2R)²=1+4+4=9→R=3/2。
中档8三棱锥 V=8，S表=24，内切球 r？
r=3·8/24=1。
中档10正圆锥外接球心在什么线上？
高（轴）线上。
中档11正方体外接球表面积 R=√3，求 S表。
4π·3=12π。
中档12圆柱外接球问题通常画什么截面？
过轴的截面。
拔高13正四面体棱长 a，外接球 R=√6 a/4，求内切球 r。
r=R/3=√6 a/12。
拔高14圆锥底面 r=3，高 h=4，外接球 R？
R=(9+16)/(2·4)=25/8。
拔高15长方体体对角线 6，外接球表面积？
R=3，S=4π·9=36π。
拔高16为什么正方体既有外接球又有内切球而普通长方体没有？
正方体内外接球心重合；普通长方体到各面距离不等。
拔高17等体积法把多面体切成几个小棱锥？
个数等于面数，高都是 r。
拔高18球内切于圆柱，圆柱高与底面直径有何关系？
高=底面直径=2r（球与侧面、上下底都相切）。
⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划
口诀外接过顶点，内切切面心；长方体外接球，体对角除以二；内切不会算，体积三倍除表面积。
7 天复习计划
| 天 | 任务 | 自检 |
|---|
| 第 1 天 | 读全页 + 背公式卡 | 能默写核心公式 |
| 第 2 天 | 做基础 1–6 | 全对即可 |
| 第 3 天 | 做中档 7–12 + 错题回看 | 错题重做全对 |
| 第 4 天 | 做拔高 13–18 | 能口述解题步骤 |
| 第 5 天 | 重做错题 + 真题自测 3 题 | 选择题全对 |
| 第 6 天 | 合上书默画思维导图 | 11 块不遗漏 |
| 第 7 天 | 给同学讲一遍本知识 | 讲清楚 = 真会 |