中档7A=60°, a=4√3, b=4，求 B。
sinB=b·sinA/a=4·√3/2/(4√3)=1/2。B
中档8a=2, b=√2, c=√3+1，求 A。
cosA=(b²+c²−a²)/(2bc)=(2+4+2√3−4)/(2·√2·(√3+1))=(2+2√3)/(2√2(√3+1))=√2/2。A=45°。
中档9a=2, b=3, C=60°，求面积。
S=½·2·3·√3/2=3√3/2。
中档10a=√3, b=√2, B=45°，求 A。
sinA=a·sinB/b=√3·√2/2/√2=√3/2。A=60° 或 120°。
中档11周长 20，面积 10√3，A=60°，求 a。
S=½bc·sin60°=10√3 ⇒ bc=40。a=20−b−c。a²=b²+c²−2bc·cos60°=(b+c)²−3bc=(20−a)²−120。解得 a=7。
中档12三内角成等差数列，面积 10√3，周长 20，求三边。
B=60°。同上 a=7, b+c=13, bc=40 ⇒ b=5,c=8。
拔高13在 △ABC 中，sinA:sinB:sinC=2:3:4，求 cosC。
a:b:c=2:3:4。设 a=2k,b=3k,c=4k。cosC=(4+9−16)/(2·2·3)=−1/4。
拔高14a cosB = b cosA，判断三角形形状。
正弦定理：sinA cosB=sinB cosA ⇒ sin(A−B)=0 ⇒ A=B。等腰三角形。
拔高15b=2acosA，判断形状。
sinB=2sinA cosA=sin2A。B=2A 或 B=π−2A。后者得 A+B=π 舍。B=2A。
拔高16a=√3, b=√2, B=45°，求 c。
sinA=√3/2 ⇒ A=60° 或 120°。A=60°: C=75°, c=√2·sin75°/sin45°=(√6+√2)/2。A=120°: C=15°, c=(√6−√2)/2。
拔高17△ABC 中 A=60°, b=1, S=√3，求 a/sinA。
S=½·1·c·sin60°=√3 ⇒ c=4。a²=1+16−2·1·4·½=13。a/sinA=√13/(√3/2)=2√13/√3=2√39/3。
拔高18在 △ABC 中，2cosB·sinA=sinC，判断形状。
2cosB sinA=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB。⇒ sinAcosB−cosAsinB=0 ⇒ sin(A−B)=0 ⇒ A=B。等腰。
⑪ 记忆口诀与 7 天复习计划
三句口诀① 正弦边对角，余弦三边一角。
② 面积两边夹一角，正弦乘半不能少。
③ 大边对大角，两解看大小。
7 天复习计划
| 天 | 任务 | 自检 |
|---|
| 第 1 天 | 背正余弦定理 + 面积公式 | 不看书能写 |
| 第 2 天 | 基础 1-6 + 中档 7-9 | 全对 |
| 第 3 天 | 中档 10-12 + 拔高 13-14 | 两解不漏 |
| 第 4 天 | 默写定理选择表 | 不看书能写 |
| 第 5 天 | 拔高 15-18 | 错题搞懂 |
| 第 6-7 天 | 每天解 1 个三角形 | 零失误 |